Wat is vrije familie? — Wiskunde

Definitie 18.14 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 18 — Vectorruimten

Een familie $(x_1, \dots, x_p)$ vectoren van $E$ heet:

voortbrengend (voor $E$ ) wanneer $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
vrij (haar vectoren lineair onafhankelijk) wanneer

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

in het andere geval afhankelijk;
een basis wanneer zij vrij en voortbrengend is.

Voorbeelden

Voorbeeld 18.16

De canonieke basis van $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ (een $1$ op plaats $i$ ). De monomen $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : een basis van $K_n[X]$ (vrijheid: een nulcombinatie is de nulveelterm, dus zijn alle coëfficiënten nul, Definitie 8.1). In $\C$ over $\R$ : de basis $(1, \iu)$ .

Voorbeeld 18.18 (Een kandidaat-basis toetsen, van begin tot eind)

Is $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ een basis van $\R_2[X]$ ? Schrijf $u_1, u_2, u_3$ voor de drie veeltermen. Vrijheid: een nulcombinatie $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ geeft, coëfficiënt na coëfficiënt,

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

door de eerste twee af te trekken volgt $b = c$ , en dan geeft de derde $2b = 0$ : $a = b = c = 0$ , dus vrij. Voortbrengend: in plaats van drie stelsels op te lossen, merk je de symmetrische combinatie op

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

dus $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; vervolgens

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

De monomen liggen in het opspansel, dus alles ligt erin: $\mathcal{F}$ is een basis. Als toegift geeft het samenvoegen van de drie formules de coördinaten van elke $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

(Controle met $P = X$ : coördinaten $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , zoals hierboven gevonden.) Twee lessen: symmetrie in de familie verbergt gewoonlijk een kortere weg; en zodra de dimensie beschikbaar is (Hoofdstuk 19) komt de hele voortbrengende helft van dit werk gratis — drie vrije vectoren van een $3$ -dimensionale ruimte vormen altijd een basis.

Voorbeeld 18.20 (Het trapprincipe)

Zij $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ met $\deg P_k = k$ voor elke $k$ (een “trap” van graden). Dan is $(P_0, \dots, P_n)$ een basis van $K_n[X]$ . De vrijheid is Propositie 18.19 (1). Voor de voortbrengende eigenschap redeneren we met eindige afdaling op de graad: zij $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , van graad $d$ met kopcoëfficiënt $a$ , en zij $b \neq 0$ de kopcoëfficiënt van $P_d$ . Dan heeft $Q - \frac ab P_d$ graad $< d$ (de kopterm valt weg); vervang $Q$ door dat verschil en herhaal: na hoogstens $n + 1$ stappen bereikt men de nulveelterm, en het terugdraaien van de aftrekkingen drukt $Q$ uit als combinatie van de $P_k$ . Twee trappen kwamen we al tegen: de verschoven machten $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Oefening 18.4), en de producten van Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , die in de weekendopgave aan het werk worden gezet.

Lees in het hoofdstuk →