Qu'est-ce que « famille libre » ?

Exemple 18.16

La base canonique de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ($1$ en position $i$). Les monômes $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : une base de $K_n[X]$ (liberté : une combinaison nulle est le polynôme nul, donc tous les coefficients sont nuls, Définition 8.1). Dans $\C$ vu sur $\R$ : la base $(1, \iu)$.

Exemple 18.18 (Tester une base candidate, de bout en bout)

La famille $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ est-elle une base de $\R_2[X]$ ? Notons $u_1, u_2, u_3$ les trois polynômes. Liberté : une combinaison nulle $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ donne, coefficient par coefficient,

en soustrayant les deux premières, $b = c$, puis la troisième donne $2b = 0$ : $a = b = c = 0$, la famille est libre. Génératrice : plutôt que de résoudre trois systèmes, remarquons la combinaison symétrique

d’où $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; puis

Les monômes sont dans le sous-espace engendré, donc tout y est : $\mathcal{F}$ est une base. En prime, en assemblant les trois formules on obtient les coordonnées de tout $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

(Vérification avec $P = X$ : coordonnées $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, comme trouvé plus haut.) Deux leçons : une symétrie dans la famille cache d’ordinaire une combinaison raccourci ; et une fois la dimension disponible (Chapitre 19), toute la moitié « génératrice » de ce travail sera gratuite — trois vecteurs libres d’un espace de dimension $3$ forment toujours une base.

Exemple 18.20 (Le principe de l’escalier)

Soient $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ avec $\deg P_k = k$ pour chaque $k$ (un « escalier » de degrés). Alors $(P_0, \dots, P_n)$ est une base de $K_n[X]$. La liberté résulte de la Proposition 18.19 (1). Pour le caractère générateur, raisonnons par descente finie sur le degré : soit $Q \in K_n[X]$, $Q \neq 0$, de degré $d$, de coefficient dominant $a$, et soit $b \neq 0$ le coefficient dominant de $P_d$. Alors $Q - \frac ab P_d$ est de degré $< d$ (les termes de tête s’annulent) ; en remplaçant $Q$ par cette différence et en itérant, on atteint après au plus $n + 1$ étapes le polynôme nul, et en remontant les soustractions on exprime $Q$ comme combinaison des $P_k$. Deux escaliers déjà rencontrés : les puissances translatées $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Exercice 18.4), et les produits de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$, mis à profit dans le devoir maison.