स्वतंत्र कुल क्या है? — गणित

परिभाषा 18.14 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 18 — सदिश समष्टियाँ

$E$ के सदिशों का कुल $(x_1, \dots, x_p)$ :

( $E$ का) जनक कहलाता है जब $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
स्वतंत्र (उसके सदिश रैखिकतः स्वतंत्र) कहलाता है जब

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

अन्यथा परतंत्र;
और आधार कहलाता है जब वह स्वतंत्र भी हो और जनक भी।

उदाहरण

उदाहरण 18.16

$K^n$ का विहित आधार: $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $i$ स्थान पर $1$ )। एकपदी $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : $K_n[X]$ का एक आधार (स्वतंत्रता: शून्य संयोजन शून्य बहुपद है, अतः सभी गुणांक शून्य हो जाते हैं, परिभाषा 8.1)। $\R$ पर $\C$ में: आधार $(1, \iu)$ ।

उदाहरण 18.18 (संभावित आधार की जाँच, आदि से अंत तक)

क्या $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ $\R_2[X]$ का आधार है? तीनों बहुपदों को $u_1, u_2, u_3$ लिखिए। स्वतंत्रता: शून्य संयोजन $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ से गुणांक-दर-गुणांक मिलता है

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

पहले दो को घटाने पर $b = c$ , फिर तीसरे से $2b = 0$ मिलता है: $a = b = c = 0$ , अतः स्वतंत्र। जनक होना: तीन निकाय हल करने के बदले सममित संयोजन पर ध्यान दीजिए

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

अतः $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; फिर

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

एकपदी जनित समष्टि में हैं, अतः सब कुछ उसमें है: $\mathcal{F}$ एक आधार है। बोनस के रूप में, तीनों प्रदर्शित पंक्तियों को जोड़ देने पर किसी भी $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ के निर्देशांक मिल जाते हैं:

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

( $P = X$ के साथ जाँच: निर्देशांक $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , जैसा ऊपर मिला था।) दो सीखें: कुल में छिपी सममिति प्रायः कोई छोटा रास्ता देने वाला संयोजन छिपाए रहती है; और विमा उपलब्ध होते ही (अध्याय 19) इस काम का पूरा जनक-वाला आधा हिस्सा मुफ़्त में मिल जाएगा — $3$ -विमीय समष्टि के तीन स्वतंत्र सदिश सदा आधार बनाते हैं।

उदाहरण 18.20 (सीढ़ी सिद्धांत)

मान लीजिए $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ ऐसा है कि प्रत्येक $k$ के लिए $\deg P_k = k$ (घातों की एक “सीढ़ी”)। तब $(P_0, \dots, P_n)$ $K_n[X]$ का आधार है। स्वतंत्रता प्रतिज्ञप्ति 18.19 (1) है। जनक होने के लिए घात पर परिमित अवरोहण से तर्क कीजिए: मान लीजिए $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , जिसकी घात $d$ और अग्र गुणांक $a$ है, और $b \neq 0$ $P_d$ का अग्र गुणांक है। तब $Q - \frac ab P_d$ की घात $< d$ है (शीर्ष पद कट जाते हैं); $Q$ को इस अंतर से बदलकर दोहराने पर अधिक से अधिक $n + 1$ चरणों में शून्य बहुपद तक पहुँच जाते हैं, और घटावों को उलटकर खोलने पर $Q$ $P_k$ के संयोजन के रूप में व्यक्त हो जाता है। दो सीढ़ियाँ पहले ही मिल चुकी हैं: सरकाई हुई घातें $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (अभ्यास 18.4), और न्यूटन गुणनफल $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , जिन्हें सप्ताहांत समस्या में काम पर लगाया गया है।

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