ما معنى الزمرة الجزئية المولَّدة؛ الرتبة؟ — الرياضيات

تعريف 1.13 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 1 — المجموعات والبنى

لتكن $G$ زمرة وليكن $A \subseteq G$ . الزمرة الجزئية المولَّدة بالجزء $A$ ، ويُرمز إليها $\langle A \rangle$ ، هي أصغر زمرة جزئية تحتوي $A$ — وهي بالتحديد مجموعة كل الجداءات المنتهية لعناصر $A$ ومقلوباتها. وتكون زمرة دورية إذا كانت مولَّدة بعنصر واحد: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ . ورتبة العنصر $a \in G$ هي $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (وقد تكون غير منتهية)؛ وإذا كانت منتهية فهي أصغر $n \geq 1$ يحقق $a^n = e$ ، ويكون $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ .

شبكة الزمر الجزئية للزمرة ℤ/12ℤ: زمرة جزئية واحدة لكل قاسم من قواسم 12 ()، مع حافة حين تحتوي إحداهما الأخرى بدليل أولي. والاحتواءات تسير عكس قابلية القسمة للمولّد: 4 ⊂eq 2 لأن 4 مضاعف للعدد 2. — شبكة الزمر الجزئية للزمرة $\Z/12\Z$ : زمرة جزئية واحدة لكل قاسم من قواسم $12$ (القضية 1.17)، مع حافة حين تحتوي إحداهما الأخرى بدليل أولي. والاحتواءات تسير *عكس* قابلية القسمة للمولّد: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ لأن $4$ مضاعف للعدد $2$ .

أمثلة

مثال 1.15 (الأصناف الجانبية في العمل: $A_3$ داخل $\mathfrak{S}_3$ )

لنأخذ $G = \mathfrak{S}_3$ (رتبتها $6$ ) و $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ . الأصناف الجانبية اليسرى هي

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

أي صنفان من ثلاثة عناصر يقسمان $G$ ، تمامًا كما يقتضي العدّ $\abs G = \abs H \times (\text{عدد الأصناف الجانبية})$ — وهو بوضوح التقسيم إلى تبديلات زوجية وفردية. ولاحظ أن $(1\,3)H = (1\,2)H$ رغم أن $(1\,3) \neq (1\,2)$ : فالأصناف الجانبية أصناف لا تُسمّى بممثليها، و $x^{-1}y \in H$ هي المقارنة المشروعة الوحيدة. وهذه الصورة ذات الصنفين هي الصورة العامة للإشارة: فالزمرة $A_n$ وصنفها الجانبي الوحيد المرافق يقسمان $\mathfrak{S}_n$ نصفين، وهذا ما تعدّ به مسألة نهاية الأسبوع الوضعيات القابلة للبلوغ في الأحجية.

مثال 1.16

فائدتان مباشرتان. الزمر ذات الرتبة الأولية دورية: إذا كان $\abs G = p$ أوليًا و $a \neq e$ ، فإن $\operatorname{ord}(a)$ يقسم $p$ ولا يساوي $1$ ، ومنه فهو $p$ : أي $\langle a\rangle = G$ . شبكة الزمر الجزئية للزمرة $\Z/12\Z$ : حسب القضية 1.17 أدناه، هناك زمرة جزئية واحدة بالضبط لكل قاسم من قواسم $12$ — رتبها $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ، مولَّدة على التوالي بالأصناف $\overline 0$ و $\overline 6$ و $\overline 4$ و $\overline 3$ و $\overline 2$ و $\overline 1$ . والتنبيه الختامي: عكس مبرهنة لاغرانج خاطئ عمومًا — فرتبة $A_4$ هي $12$ ولا تملك زمرة جزئية رتبتها $6$ ، كما نبرهن في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (المسألة 1.1، السؤال 14). فلاغرانج يُقيّد الرتب الممكنة، لكنه لا يَعِد بها.

مثال 1.20 (نمط الدورات بوصفه إحصاءً)

كم عدد تبديلات $\mathfrak{S}_9$ ذات نمط الدورات $(4, 3, 2)$ — دورة من الطول $4$ ، ودورة من الطول $3$ ، ومبادلة؟ نختار الحوامل والترتيبات الدورية:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

نرصّ الرموز التسعة في سطر ( $9!$ طريقة)، ونُقوّس الأربعة الأولى ثم الثلاثة التالية ثم الأخيرين في دورات، ونقسم على الدورانات داخل كل قوس ( $4$ و $3$ و $2$ منها) التي تعطي التبديلة نفسها. (والأطوال هنا مختلفة، فلا قسمة إضافية؛ أما الأطوال المتساوية فتقتضي أيضًا القسمة على تبديلات الأقواس المتساوية.) ورتبة كل تبديلة كهذه $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ وإشارتها $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (المبرهنة 1.19 ومبرهنة الإشارة أدناه). تقسيم واحد للعدد $9$ ، وصنف تقارن واحد، وإحصاء واحد — فتوافقيات $\mathfrak{S}_n$ هي حساب التقسيمات.

اقرأ في الفصل ←