Qu'est-ce que « Sous-groupe engendré ; ordre » ? — Mathématiques

Définition 1.13 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 1 — Ensembles et structures

Soit $G$ un groupe et $A \subseteq G$ . Le sous-groupe engendré par $A$ , noté $\langle A \rangle$ , est le plus petit sous-groupe contenant $A$ — concrètement, tous les produits finis d’éléments de $A$ et de leurs inverses. Un groupe est cyclique lorsqu’il est engendré par un seul élément : $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ . L’ordre de $a \in G$ est $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ (éventuellement infini) ; lorsqu’il est fini, c’est le plus petit $n \geq 1$ tel que $a^n = e$ , et $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ .

Le treillis des sous-groupes de ℤ/12ℤ : un sous-groupe par diviseur de 12 (), avec une arête lorsque l’un contient l’autre avec un indice premier. Les inclusions vont à rebours de la divisibilité du générateur : 4 ⊂eq 2 car 4 est un multiple de 2. — Le treillis des sous-groupes de $\Z/12\Z$ : un sous-groupe par diviseur de $12$ (Proposition 1.17), avec une arête lorsque l’un contient l’autre avec un indice premier. Les inclusions vont *à rebours* de la divisibilité du générateur : $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ car $4$ est un multiple de $2$ .

Exemples

Exemple 1.15 (Les classes à l’œuvre : $A_3$ dans $\mathfrak{S}_3$ )

Prenons $G = \mathfrak{S}_3$ (ordre $6$ ) et $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ . Les classes à gauche sont

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

deux classes de trois éléments partitionnant $G$ , exactement comme l’exige le décompte $\abs G = \abs H \times (\text{nombre de classes})$ — et visiblement la partition en permutations paires et impaires. Noter que $(1\,3)H = (1\,2)H$ bien que $(1\,3) \neq (1\,2)$ : les classes sont des classes, non repérées par leurs représentants, et $x^{-1}y \in H$ est la seule comparaison légitime. Cette image à deux classes est celle qui vaut en général pour la signature : $A_n$ et son unique classe compagne coupent $\mathfrak{S}_n$ en deux, ce qui est la façon dont le problème du week-end compte les positions du puzzle atteignables.

Exemple 1.16

Deux dividendes immédiats. Les groupes d’ordre premier sont cycliques : si $\abs G = p$ est premier et $a \neq e$ , alors $\operatorname{ord}(a)$ divise $p$ et n’est pas $1$ , donc vaut $p$ : $\langle a\rangle = G$ . Le treillis des sous-groupes de $\Z/12\Z$ : d’après la Proposition 1.17 ci-dessous, il y a exactement un sous-groupe par diviseur de $12$ — d’ordres $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , engendrés respectivement par $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ . La mise en garde finale : la réciproque de Lagrange est fausse en général — $A_4$ est d’ordre $12$ mais n’a pas de sous-groupe d’ordre $6$ , comme nous le démontrons dans le problème du week-end de ce chapitre (Problème 1.1, question 14). Lagrange restreint les ordres possibles ; il ne les garantit pas.

Exemple 1.20 (Le type de cycle comme recensement)

Combien de permutations de $\mathfrak{S}_9$ ont le type de cycle $(4, 3, 2)$ — un $4$ -cycle, un $3$ -cycle, une transposition ? On choisit les supports et les ordres cycliques :

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

on aligne les neuf symboles en ligne ( $9!$ façons), on regroupe les quatre premiers, les trois suivants, les deux derniers en cycles, et on divise par les rotations à l’intérieur de chaque groupe ( $4$ , $3$ et $2$ respectivement) qui donnent la même permutation. (Ici les longueurs des cycles sont distinctes, donc pas d’autre division ; des longueurs égales exigeraient aussi de diviser par les permutations des groupes de même taille.) Toute telle permutation est d’ordre $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ et de signature $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ (Théorème 1.19 et le théorème de la signature ci-dessous). Une partition de $9$ , une classe de conjugaison, un recensement — la combinatoire de $\mathfrak{S}_n$ est l’arithmétique des partitions.

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