जनित उपसमूह; कोटि क्या है? — गणित

परिभाषा 1.13 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 1 — समुच्चय और संरचनाएँ

मान लीजिए $G$ एक समूह है और $A \subseteq G$ । $A$ द्वारा जनित उपसमूह, जिसे $\langle A \rangle$ लिखा जाता है, $A$ को समाहित करने वाला सबसे छोटा उपसमूह है — मूर्त रूप में, $A$ के अवयवों तथा उनके प्रतिलोमों के सभी परिमित गुणनफल। कोई समूह चक्रीय कहलाता है जब वह एक ही अवयव से जनित हो: $\langle a\rangle = \{a^k : k \in \Z\}$ । $a \in G$ की कोटि $\operatorname{ord}(a) = \abs{\langle a \rangle}$ है (जो अनंत भी हो सकती है); परिमित होने पर वह न्यूनतम ऐसा $n \geq 1$ है जिसके लिए $a^n = e$ , और $a^k = e \iff \operatorname{ord}(a) \mid k$ ।

ℤ/12ℤ का उपसमूह जालक: 12 के प्रत्येक भाजक के लिए एक उपसमूह (), और जहाँ एक दूसरे को अभाज्य सूचकांक के साथ समाहित करता है वहाँ एक भुजा। अंतर्भाव जनक की विभाज्यता के विरुद्ध चलते हैं: 4 ⊂eq 2 क्योंकि 4 2 का गुणज है। — $\Z/12\Z$ का उपसमूह जालक: $12$ के प्रत्येक भाजक के लिए एक उपसमूह (प्रतिज्ञप्ति 1.17), और जहाँ एक दूसरे को अभाज्य सूचकांक के साथ समाहित करता है वहाँ एक भुजा। अंतर्भाव जनक की विभाज्यता के *विरुद्ध* चलते हैं: $\langle\overline 4\rangle \subseteq \langle\overline2\rangle$ क्योंकि $4$ $2$ का गुणज है।

उदाहरण

उदाहरण 1.15 (सहसमुच्चय काम करते हुए: $\mathfrak{S}_3$ के भीतर $A_3$ )

लीजिए $G = \mathfrak{S}_3$ (कोटि $6$ ) और $H = A_3 = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}$ । वाम सहसमुच्चय ये हैं:

H = \{\mathrm{id},\ (1\,2\,3),\ (1\,3\,2)\}, \qquad (1\,2)H = \{(1\,2),\ (2\,3),\ (1\,3)\} :

अर्थात् तीन-तीन अवयवों के दो वर्ग $G$ का विभाजन करते हैं, ठीक वैसे ही जैसी गणना $\abs G = \abs H \times (\text{सहसमुच्चयों की संख्या})$ माँगती है — और स्पष्टतः यह सम और विषम क्रमचयों का विभाजन है। ध्यान दीजिए कि $(1\,3)H = (1\,2)H$ , यद्यपि $(1\,3) \neq (1\,2)$ : सहसमुच्चय वर्ग हैं, अपने प्रतिनिधियों से नामांकित नहीं, और $x^{-1}y \in H$ ही एकमात्र वैध तुलना है। दो वर्गों वाला यह चित्र चिह्न के लिए सामान्य चित्र है: $A_n$ और उसका अकेला साथी सहसमुच्चय $\mathfrak{S}_n$ को आधा-आधा बाँट देते हैं, और इसी से सप्ताहांत समस्या पहुँच योग्य पहेली-स्थितियाँ गिनती है।

उदाहरण 1.16

दो तत्काल लाभ। अभाज्य कोटि के समूह चक्रीय होते हैं: यदि $\abs G = p$ अभाज्य है और $a \neq e$ , तो $\operatorname{ord}(a)$ $p$ को विभाजित करता है और $1$ नहीं है, अतः वह $p$ है: $\langle a\rangle = G$ । $\Z/12\Z$ का उपसमूह जालक: नीचे प्रतिज्ञप्ति 1.17 के अनुसार $12$ के प्रत्येक भाजक के लिए ठीक एक उपसमूह है — कोटियाँ $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , जो क्रमशः $\overline 0$ , $\overline 6$ , $\overline 4$ , $\overline 3$ , $\overline 2$ , $\overline 1$ से जनित हैं। समापन चेतावनी: लाग्रांज का विलोम सामान्यतः विफल रहता है — $A_4$ की कोटि $12$ है परंतु उसमें कोटि $6$ का कोई उपसमूह नहीं, जैसा इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या (समस्या 1.1, प्रश्न 14) में सिद्ध किया गया है। लाग्रांज संभव कोटियों को सीमित करता है; उनका वचन नहीं देता।

उदाहरण 1.20 (चक्र-प्रकार एक जनगणना के रूप में)

$\mathfrak{S}_9$ के कितने क्रमचयों का चक्र-प्रकार $(4, 3, 2)$ है — अर्थात् एक $4$ -चक्र, एक $3$ -चक्र और एक पार्यय? वाहक तथा चक्रीय क्रम चुनिए:

\frac{9!}{4\cdot 3\cdot 2} = \frac{362\,880}{24} = 15\,120 :

नौ प्रतीकों को एक पंक्ति में रखिए ( $9!$ प्रकार से), पहले चार, अगले तीन और अंतिम दो को चक्रों में बाँधिए, और प्रत्येक बंधन के भीतर के घूर्णनों से भाग दीजिए (जो क्रमशः $4$ , $3$ और $2$ हैं) क्योंकि वे वही क्रमचय देते हैं। (यहाँ चक्रों की लंबाइयाँ भिन्न हैं, अतः और भाग नहीं देना पड़ता; समान लंबाइयाँ होतीं तो समान बंधनों के क्रमचयों से भी भाग देना पड़ता।) ऐसे प्रत्येक क्रमचय की कोटि $\operatorname{lcm}(4,3,2) = 12$ और चिह्न $(-1)^3(-1)^2(-1)^1 = +1$ होता है (प्रमेय 1.19 तथा नीचे दी गई चिह्न-प्रमेय से)। $9$ का एक विभाजन, एक संयुग्मता वर्ग, एक जनगणना — $\mathfrak{S}_n$ का संचयशास्त्र विभाजनों का अंकगणित ही है।

अध्याय में पढ़ें →