ما معنى جداء سلّمي هرميتي؟ — الرياضيات

تعريف 13.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 13 — الصيغ الهرميتية

الجداء السلّمي الهرميتي على فضاء متجهي عقدي $E$ هو تطبيق $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ خطي في المتغيّر الثاني، ومتماثل بالمرافقة ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — ومن ثم مرافق الخطية في المتغيّر الأول)، و معرَّف موجب ( $\langle x, x\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ ). والمثال القياسي على $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

وعلى الدوال المتصلة، $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . والمعيار: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ؛ ويُسمى الفضاء العقدي المنتهي البعد المزوَّد بذلك فضاءً هرميتيًا.

أمثلة

مثال 13.2 (حسابات أولى)

في $\C^2$ ، نأخذ $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ و $y = (\iu,\ 1)$ . عندئذٍ

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

وبمرافقة الوسيط الأول،

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

وتتحقق متراجحة كوشي–شوارتز: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — وهي قريبة من المساواة، لأن $x$ قريبة من مضاعف للمتجهة $y$ . ولاحظ أيضًا $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : أي التماثل بالمرافقة في العمل، والسبب في أن $\langle x, x\rangle$ حقيقي دائمًا.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة