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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « produit scalaire hermitien » ?

Aussi appelé : espace hermitien

Définition 13.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 13 — Formes hermitiennes

Un produit scalaire hermitien sur un espace vectoriel complexe EE est une application ⟨⋅,⋅⟩ ⁣:E×E→C\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C linéaire en la seconde variable, à symétrie hermitienne (⟨y,x⟩=⟨x,y⟩‾\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle} — donc semi-linéaire en la première variable), et définie positive (⟨x,x⟩>0\langle x, x\rangle > 0 pour x≠0x \neq 0). L’exemple standard sur Cn\C^n :

⟨x,y⟩=∑i=1nxi‾ yi;\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

sur les fonctions continues, ⟨f,g⟩=∫abf‾ g\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g. Norme : ∥x∥=⟨x,x⟩\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle} ; un espace complexe de dimension finie ainsi muni est un espace hermitien.

Exemples

Exemple 13.2 (Premiers calculs)

Dans C2\C^2, prenons x=(1+i, 2−i)x = (1+\iu,\ 2-\iu) et y=(i, 1)y = (\iu,\ 1). Alors

∥x∥2=∣1+i∣2+∣2−i∣2=2+5=7,∥y∥2=1+1=2,\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

et, en conjuguant le premier argument,

⟨x,y⟩=(1+i)‾ i+(2−i)‾⋅1=(1−i)i+(2+i)=(i+1)+(2+i)=3+2i.\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz est vérifiée : ∣⟨x,y⟩∣2=9+4=13≤14=∥x∥2∥y∥2\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2 — proche de l’égalité, car xx est proche d’un multiple de yy. Remarquons aussi ⟨y,x⟩=3+2i‾=3−2i\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu : la symétrie hermitienne en action, et la raison pour laquelle ⟨x,x⟩\langle x, x\rangle est toujours réel.

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