Qu'est-ce que « produit scalaire hermitien » ? — Mathématiques

Définition 13.1 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 13 — Formes hermitiennes

Un produit scalaire hermitien sur un espace vectoriel complexe $E$ est une application $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ linéaire en la seconde variable, à symétrie hermitienne ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — donc semi-linéaire en la première variable), et définie positive ( $\langle x, x\rangle > 0$ pour $x \neq 0$ ). L’exemple standard sur $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

sur les fonctions continues, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norme : $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; un espace complexe de dimension finie ainsi muni est un espace hermitien.

Exemples

Exemple 13.2 (Premiers calculs)

Dans $\C^2$ , prenons $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ et $y = (\iu,\ 1)$ . Alors

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

et, en conjuguant le premier argument,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz est vérifiée : $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — proche de l’égalité, car $x$ est proche d’un multiple de $y$ . Remarquons aussi $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : la symétrie hermitienne en action, et la raison pour laquelle $\langle x, x\rangle$ est toujours réel.

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Exemples

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