Wat is hermitisch inproduct? — Wiskunde

Definitie 13.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 13 — Hermitische vormen

Een hermitisch inproduct op een complexe vectorruimte $E$ is een afbeelding $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ die lineair is in de tweede veranderlijke, geconjugeerd symmetrisch ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — en dus geconjugeerd lineair in de eerste veranderlijke) en positief definiet ( $\langle x, x\rangle > 0$ voor $x \neq 0$ ). Het standaardvoorbeeld op $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

op continue functies, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norm: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; een eindigdimensionale complexe ruimte die hiermee is uitgerust, heet een hermitische ruimte.

Voorbeelden

Voorbeeld 13.2 (Eerste berekeningen)

Neem in $\C^2$ de vectoren $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ en $y = (\iu,\ 1)$ . Dan is

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

en, met conjugatie van het eerste argument,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz klopt: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — dicht bij gelijkheid, omdat $x$ dicht bij een veelvoud van $y$ ligt. Merk ook op dat $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : geconjugeerde symmetrie in actie, en de reden waarom $\langle x, x\rangle$ altijd reëel is.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen