¿Qué es producto escalar hermítico? — Matemáticas

Definición 13.1 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 13 — Formas hermíticas

Un producto escalar hermítico sobre un espacio vectorial complejo $E$ es una aplicación $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ que es lineal en la segunda variable, simétrica conjugada ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ , luego semilineal en la primera variable) y definida positiva ( $\langle x, x\rangle > 0$ para $x \neq 0$ ). El ejemplo estándar sobre $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

sobre funciones continuas, $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . Norma: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ; un espacio complejo de dimensión finita así equipado es un espacio hermítico.

Ejemplos

Ejemplo 13.2 (Primeros cálculos)

En $\C^2$ , tomemos $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ e $y = (\iu,\ 1)$ . Entonces

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

y, conjugando el primer argumento,

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

Cauchy–Schwarz se verifica: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ ; cerca de la igualdad, porque $x$ está cerca de ser un múltiplo de $y$ . Obsérvese también que $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : la simetría conjugada en acción, y la razón de que $\langle x, x\rangle$ sea siempre real.

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Ejemplos

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