ما معنى معيار؟ — الرياضيات

تعريف 5.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 5 — الفضاءات المتجهية المعيارية

المعيار على $E$ تطبيق $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ يحقق، من أجل كل $x, y \in E$ و $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

عندئذٍ يكون $d(x, y) = \norm{x - y}$ مسافة، وينطبق كل ما في الفصل 4. وتجعل متراجحة المثلث المعكوسة $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ المعيارَ نفسه ليبشيتزيًا بالثابت $1$ ؛ والجمع والضرب السلّمي متصلان (بالتقديرات $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ ، وغيرها).

أمثلة

مثال 5.2

على $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

(و $\norm\cdot_2$ معيار بمتراجحة كوشي–شوارتز، مجلد السنة الأولى). وعلى $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

والأخيران معياران بفضل الإيجابية التامة للتكامل ومتراجحة كوشي–شوارتز التكاملية (مجلد السنة الأولى). وعلى المصفوفات: أي معيار على $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ؛ ومعايير المؤثرات أدناه هي المهمة بنيويًا.

مثال 5.4 (عدم التكافؤ في البعد غير المنتهي)

على $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ دائمًا، لكن لا يصحّ أي حدّ معاكس: فالدالة $f_n(x) = x^n$ لها $\norm{f_n}_\infty = 1$ و $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . ومنه $f_n \to 0$ من أجل $\norm\cdot_1$ لا من أجل $\norm\cdot_\infty$ : فالمعياران يختلفان في التقارب نفسه.

مثال 5.5 (ثوابت صريحة في البعد $n$ )

على $K^n$ تتكافأ المعايير الكلاسيكية الثلاثة بثوابت مثلى:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

والحدّ الأوسط $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ آتٍ من متراجحة كوشي–شوارتز في مقابل المتجهة ذات الواحدات. والمتجهات الحدّية: $e_1$ تجعل المتراجحتين الأوليين مساواتين، و $(1, 1, \dots, 1)$ تجعل الأخيرتين كذلك. ويظهر البعد $n$ بوضوح في الثوابت — وهو البذرة الكمّية للفشل في البعد غير المنتهي: فحين $n \to \infty$ لا يبقى أي ثابت منتظم، وهذا بالضبط ما يُبرزه المثال 5.4 على فضاءات الدوال.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة