متباين، شامل، تقابلي কী?

مثال 1.25 (حساب المقلوب عمليًا)

لتكن $f \colon \R \to \intoo0{+\infty}$، $f(x) = \eu^{2x+1}$. لقلبه نحلّ المعادلة $y = f(x)$ من أجل $y > 0$ معطى:

وكل خطوة قابلة للعكس على المجموعتين المعلنتين. ويعطي هذا الحساب كل شيء دفعة واحدة: فلكل $y$ من مجموعة الوصول حلٌّ واحد $x$ لا غير، فالتطبيق $f$ تقابليّ، و

والتحقق السريع من التركيبين ($f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+1) - 1}2 = x$ و $f(f^{-1}(y)) = \eu^{\ln y} = y$) يؤكد معيار المبرهنة 1.24. والفكرة النافذة: «حُلَّ من أجل $x$ وراقب التكافؤات» هو في آن واحد برهان الوجود وبرهان الوحدانية والصيغة — لكنه لا يفلح إلا إذا أُعلنت مجموعة الوصول إعلانًا صحيحًا (فالتطبيق $f$ ليس شاملًا على $\R$).

مثال 1.27 (النقطة (2) دقيقة)

في القضية 1.26 (2) لا يمكن تقوية الاستنتاجين: فكون $g \circ f$ تقابليًا لا يفرض شمول $f$ ولا تباين $g$. خذ $E = G = \{1\}$، و$F = \{1, 2\}$، مع $f(1) = 1$ و $g(1) = g(2) = 1$: عندئذ $g \circ f = \mathrm{id}_E$ تقابليّ، ومع ذلك يفوت $f$ العنصر $2$ ويطوي $g$ العنصرين في واحد. والعبرة قاعدةُ محاسبة دقيقة: تنتقل معلومة التركيب إلى التطبيق الداخلي في مسألة التباين، وإلى التطبيق الخارجي في مسألة الشمول، ولا تنتقل قط في الاتجاه المعاكس. (ويبني التمرين 1.9 الظاهرة نفسها على مجموعات لا نهائية، حيث تكون المحرك وراء المقلوبات أحادية الجانب.)

مثال 1.28

التطبيق $f \colon \R \to \R$، $x \mapsto x^2$ ليس متباينًا ($f(-1) = f(1)$) ولا شاملًا (فالعدد $-1$ ليست له سابقة). وبتقييد مجموعة التعريف ومجموعة الوصول يصير $f \colon \R_+ \to \R_+$، $x \mapsto x^2$ تقابليًا، ومقلوبه $y \mapsto \sqrt y$. فتباين تطبيق أو شموله يتعلق بمجموعتي التعريف والوصول المعلنتين، لا بالصيغة وحدها.