الداخل والغلق والحافة কী?

مثال 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$؛ $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$؛ $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. ومن أجل $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$ و $\mathring A = \emptyset$ و $\partial A = A \cup \{0\}$. ومن أجل $\Q$: بالكثافة (المبرهنة 10.14) يكون كل عدد حقيقي ملاصقًا للمجموعة $\Q$، ومنه $\overline{\Q} = \R$ بينما $\mathring{\Q} = \emptyset$ (لأن كل فترة تحتوي أعدادًا صماء): ومنه فحافة $\Q$ هي $\R$ كلها.

مثال 12.13 (تشريح كامل)

لتكن $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. نحسب المجموعات الثلاث في التعريف 12.10، قطعةً قطعة.

الداخل. لكل نقطة من $\intoo{0}{1}$ فترة كاملة داخل $A$: فهي داخلية. وأمّا النقطة $1$: فكل فترة حولها تتسرّب يمين $1$، حيث لا شيء في $A$ حتى $2$: فهي ليست داخلية. ولا نقطة من $\Q \cap \intoo{2}{3}$ داخلية (لأن كل فترة تحتوي أعدادًا صماء، المبرهنة 10.14)؛ وكذلك النقطة المعزولة $4$. ومنه $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

الغلق. نهايات نقاط $A$: كل $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ مع $\frac 1n \in A$)؛ وكل $\intcc{2}{3}$ (لأن كل عدد حقيقي هناك نهاية أعداد ناطقة من الفترة، بالكثافة مرة أخرى)؛ والنقطة $4$. ولا شيء آخر: فلأيّ نقطة خارج $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ مسافة موجبة إلى تلك المجموعة المغلقة. ومنه $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

الحافة. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

والفكرة النافذة: تعمل العمليات الثلاث موضعيًا — فكل قطعة من $A$ تسهم حسب طبيعتها هي (فالفترة الصلبة تحتفظ بداخلها، والقطعة الكثيفة المسامية تتحول كلها إلى حافة، والنقطة المعزولة حافة محضة)، ورسمٌ من سطرين للمجموعة $A$ يتنبّأ بكل جواب قبل كتابة أيّ برهان.

مثال 12.15 (غلق محسوب بالضبط)

لتكن $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (من المثال 12.7). الادعاء:

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ و $0 = \lim_n \frac2n$: فهي ملاصقة حسب التمييز التتالي. ($\subseteq$) ليكن $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$؛ رتّب كل زوج بحيث يكون $m_k \leq n_k$. فإذا كانت $(m_k)$ غير محدودة، فلمتتالية جزئية $m_k \to \infty$، ومنه $n_k \to \infty$ كذلك و $x = 0$. وإلا فإن $(m_k)$ تأخذ عددًا منتهيًا من القيم، إحداها، ولنقل $m$، عددًا لا يُحصى من المرات؛ وعلى تلك المتتالية الجزئية $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: فإذا كانت $(n_k)$ محدودة أخذت قيمة $n$ ما عددًا لا يُحصى من المرات وكان $x = \frac1m + \frac1n \in G$؛ وإلا فإن $x = \frac1m$. فكل حالة تحطّ في المجموعة المعلنة. والفكرة النافذة: حساب غلق تحليلُ حالات على الأدلة بأسلوب التراص — فالدليل المحدود يعني عددًا منتهيًا من القيم (مبدأ الأدراج)، والدليل غير المحدود يعني نهايةً تفلت — ويعرض الجوابُ البنيةَ النموذجية ذات الطبقتين لنقاط التراكم: المجموعة، ونهاياتها من الجيل الأول، ونهايتها $0$.