ما معنى النهاية عند نقطة؟

مثال 13.2 (نهاية بالحصر)

احسب $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$. يعطي تأطير الجزء الصحيح $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$، بعد الضرب في $x$ (وانتبه للإشارة!):

وينغلق الحصران من الجهتين على $1$: فالنهاية هي $1$. ولاحظ ما حدث: للمقدار $\lfloor \frac1x\rfloor$ وحده قفزات جامحة قرب $0$، لكن العامل $x$ يروّض كل قفزة (فالمقدار $x$ مضروبًا في قفزة واحدية صغير)، ولا ينجو إلا التأطير. والفكرة النافذة: نهايات جداء عامل صغير في عامل ذي تذبذب محدود مسائلُ حصر لا مسائل مبرهنة العمليات — إذ تحتاج مبرهنة العمليات إلى تقارب العاملين كليهما.

مثال 13.5 (لماذا يوجد شرط التركيب)

لتكن $g(y) = 0$ من أجل $y \neq 0$ و $g(0) = 1$، ولتكن $f$ مساوية $0$ تمامًا. عندئذ $f(x) \to 0$ عندما $x \to 0$، و $g(y) \to 0$ عندما $y \to 0$؛ ومع ذلك $g(f(x)) = g(0) = 1$ من أجل كل $x$، ومنه $g \circ f \to 1 \neq 0$. فالدالة الداخلية تقف بالضبط على القيمة الممنوعة $\ell = 0$ إلى الأبد، وتتجاهل نهاية $g$ عند $0$ ما تفعله $g$ عند $0$. وشرط النتيجة 13.4 — إمّا $g(\ell) = m$ (أي $g$ متصلة عند $\ell$)، وإمّا $f \neq \ell$ بجوار $x_0$ — هو بالضبط ما يستبعد هذا. والفكرة النافذة: في الممارسة يركّب المرء دوالّ متصلة ويكون الشرط مجانيًا؛ وهو لا يعضّ إلا حين تُؤخذ النهايات على جوارات مثقوبة، ولذلك يتضمن تعريف $\lim_{x \to x_0}$ المستعمل في هذا الكتاب النقطةَ إذا كانت في مجموعة التعريف.