किसी बिंदु पर सीमा क्या है? — गणित

परिभाषा 21.2 उच्च माध्यमिक गणित · अध्याय 21 — सीमाएँ और सांतत्य

मान लीजिए $a \in \R$ है और $f$ $a$ के पास (संभवतः $a$ को छोड़कर) परिभाषित है। हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर $\ell \in \R$ की ओर जाता है, और $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ लिखते हैं, यदि हर $\varepsilon > 0$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि $\abs{x - a} \leq \delta$ वाले सभी $x \in D$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ हो।

हम कहते हैं कि $f$ $a$ पर $+\infty$ की ओर जाता है यदि हर $M$ के लिए ऐसा $\delta > 0$ हो कि जब भी $x \in D$ और $\abs{x - a} \leq \delta$ हों तब $f(x) \geq M$ हो। एकपक्षीय सीमाएँ ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) $x$ को $x > a$ या $x < a$ तक सीमित कर देती हैं।

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परिभाषा 13.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 13 — सीमाएँ और सांतत्य

मान लीजिए $x_0 \in \overline{I}$ और $\ell \in \R$ । तब $x \to x_0$ होने पर $f(x) \to \ell$ तब कहते हैं जब

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

$\pm\infty$ पर सीमाएँ और अनंत सीमाएँ उसी प्रतिरूप से परिभाषित होती हैं ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ के स्थान पर $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ के स्थान पर $f(x) \geq M'$ )। एकपक्षीय सीमाएँ $x$ को $x > x_0$ तक (लिखा जाता है $x \to x_0^+$ ) या $x < x_0$ तक सीमित कर देती हैं। सीमा, जब विद्यमान हो, अद्वितीय होती है (वही उपपत्ति जो प्रतिज्ञप्ति 11.4 की है)।

उदाहरण

उदाहरण 13.2 (दबाव से एक सीमा)

$\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ संगणित कीजिए। फ़र्श का घेराव $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ $x$ से गुणा करने पर (चिह्न का ध्यान रखिए!) देता है

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

और दोनों एकपक्षीय दबाव $1$ पर बंद हो जाते हैं: अतः सीमा $1$ है। ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ: अकेला $\lfloor \frac1x\rfloor$ $0$ के पास जंगली छलाँगें लगाता है, पर गुणक $x$ प्रत्येक छलाँग को वश में कर लेता है ( $x$ गुना इकाई छलाँग छोटी होती है), और केवल घेराव बचा रहता है। समापन का सार: किसी छोटे गुणक और किसी परिबद्ध-दोलन वाले गुणक के गुणनफल की सीमाएँ दबाव की समस्याएँ हैं, संक्रिया-प्रमेय की कभी नहीं — संक्रिया-प्रमेय को दोनों गुणकों का अभिसरित होना चाहिए।

उदाहरण 13.5 (संयोजन की शर्त क्यों है)

मान लीजिए $y \neq 0$ के लिए $g(y) = 0$ और $g(0) = 1$ , और मान लीजिए $f$ तत्समक रूप से $0$ है। तब $x \to 0$ होने पर $f(x) \to 0$ , और $y \to 0$ होने पर $g(y) \to 0$ ; फिर भी प्रत्येक $x$ के लिए $g(f(x)) = g(0) = 1$ , अतः $g \circ f \to 1 \neq 0$ । भीतरी फलन सदा वर्जित मान $\ell = 0$ पर ही बैठा रहता है, और $0$ पर $g$ की सीमा इस बात की उपेक्षा करती है कि $0$ पर $g$ क्या करता है। उपप्रमेय 13.4 की शर्त — या तो $g(\ell) = m$ (अर्थात् $\ell$ पर $g$ संतत हो), या $x_0$ के पास $f \neq \ell$ — ठीक इसी को रोकने के लिए है। समापन का सार: व्यवहार में हम संतत फलनों का संयोजन करते हैं और यह शर्त मुफ़्त मिल जाती है; वह तभी काटती है जब सीमाएँ छिद्रित प्रतिवेशों के अनुदिश ली जाती हैं, और इसीलिए इस पुस्तक में प्रयुक्त $\lim_{x \to x_0}$ की परिभाषा उस बिंदु को, जब वह प्रांत में हो, समेट लेती है।

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