Apa itu Limit di sebuah titik? — Matematika

Definisi 21.2 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 21 — Limit dan Kekontinuan

Misalkan $a \in \R$ dan misalkan $f$ terdefinisi di dekat $a$ (kecuali mungkin di $a$ ). Kita katakan bahwa $f$ menuju $\ell \in \R$ di $a$ , ditulis $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , bila untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ sehingga untuk semua $x \in D$ dengan $\abs{x - a} \leq \delta$ berlaku $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Kita katakan $f$ menuju $+\infty$ di $a$ bila untuk setiap $M$ ada $\delta > 0$ sehingga $f(x) \geq M$ setiap kali $x \in D$ dan $\abs{x - a} \leq \delta$ . Limit sepihak ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) membatasi $x$ pada $x > a$ atau $x < a$ .

Baca dalam konteks →

Definisi 13.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 13 — Limit dan Kekontinuan

Misalkan $x_0 \in \overline{I}$ dan $\ell \in \R$ . Maka $f(x) \to \ell$ ketika $x \to x_0$ bila

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Adapun limit di $\pm\infty$ dan limit yang tak hingga didefinisikan dengan pola yang sama ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ menjadi $x \geq M$ ; sedangkan $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ menjadi $f(x) \geq M'$ ). Adapun limit sepihak membatasi $x$ pada $x > x_0$ (ditulis $x \to x_0^+$ ) atau $x < x_0$ . Dan limitnya tunggal bila ada (dengan bukti yang sama seperti Proposisi 11.4).

Contoh

Contoh 13.2 (Sebuah limit lewat apitan)

Hitunglah $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . Apitan lantainya $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ memberikan, setelah dikalikan dengan $x$ (awas tandanya!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

dan kedua apitan sepihaknya menutup pada $1$ : jadi limitnya $1$ . Perhatikan apa yang terjadi: bahwa $\lfloor \frac1x\rfloor$ sendirian melompat liar di dekat $0$ , tetapi faktor $x$ menjinakkan setiap lompatannya (karena $x$ dikali lompatan satuan itu kecil), dan hanya apitannya yang bertahan. Inti gagasan penutupnya: bahwa limit hasil kali sebuah faktor yang kecil dengan faktor yang berayun terbatas adalah soal apitan, dan tak pernah soal teorema operasi — sebab teorema operasi menuntut kedua faktornya konvergen.

Contoh 13.5 (Mengapa syarat pada komposisinya ada)

Misalkan $g(y) = 0$ untuk $y \neq 0$ dan $g(0) = 1$ , dan $f$ identik dengan $0$ . Maka $f(x) \to 0$ ketika $x \to 0$ , dan $g(y) \to 0$ ketika $y \to 0$ ; namun $g(f(x)) = g(0) = 1$ untuk setiap $x$ , sehingga $g \circ f \to 1 \neq 0$ . Fungsi dalamnya duduk persis pada nilai terlarang $\ell = 0$ selamanya, dan limit $g$ di $0$ mengabaikan apa yang dilakukan $g$ di $0$ . Adapun syarat pada Akibat 13.4 — entah $g(\ell) = m$ (yakni $g$ kontinu di $\ell$ ), entah $f \neq \ell$ di dekat $x_0$ — persis itulah yang menyingkirkannya. Inti gagasan penutupnya: bahwa dalam praktik orang menyusun fungsi yang kontinu sehingga syaratnya cuma-cuma; ia menggigit hanya ketika limitnya diambil sepanjang persekitaran yang berlubang, dan itulah sebabnya definisi $\lim_{x \to x_0}$ yang dipakai buku ini menyertakan titiknya bila ia termasuk daerah asalnya.

Baca dalam konteks →