Qu'est-ce que « Limite en un point » ? — Mathématiques

Définition 21.2 Mathématiques du lycée · Chapitre 21 — Limites et continuité

Soit $a \in \R$ et soit $f$ définie au voisinage de $a$ (sauf éventuellement en $a$ ). On dit que $f$ tend vers $\ell \in \R$ en $a$ , noté $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $x \in D$ avec $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si pour tout $M$ il existe $\delta > 0$ tel que $f(x) \geq M$ dès que $x \in D$ et $\abs{x - a} \leq \delta$ . Les limites à droite et à gauche ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restreignent $x$ à $x > a$ ou $x < a$ .

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Définition 13.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 13 — Limites et continuité

Soient $x_0 \in \overline{I}$ et $\ell \in \R$ . On dit que $f(x) \to \ell$ quand $x \to x_0$ lorsque

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Les limites en $\pm\infty$ et les limites infinies se définissent sur le même modèle ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ devient $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ devient $f(x) \geq M'$ ). Les limites à droite et à gauche restreignent $x$ à $x > x_0$ (on écrit alors $x \to x_0^+$ ) ou à $x < x_0$ . La limite, lorsqu’elle existe, est unique (même démonstration que la Proposition 11.4).

Exemples

Exemple 13.2 (Une limite par encadrement)

Calculons $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . L’encadrement de la partie entière $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ donne, après multiplication par $x$ (attention au signe !) :

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

et les deux encadrements latéraux se referment sur $1$ : la limite vaut $1$ . Observons ce qui s’est passé : $\lfloor \frac1x\rfloor$ seul fait des sauts sauvages près de $0$ , mais le facteur $x$ dompte chaque saut ( $x$ fois un saut d’amplitude $1$ est petit), et seul l’encadrement survit. L’idée à retenir : les limites de produits d’un facteur petit par un facteur à oscillation bornée relèvent de l’encadrement, jamais du théorème d’opérations — le théorème d’opérations exige que les deux facteurs convergent.

Exemple 13.5 (Pourquoi la clause de composition existe)

Soit $g(y) = 0$ pour $y \neq 0$ et $g(0) = 1$ , et soit $f$ identiquement nulle. Alors $f(x) \to 0$ quand $x \to 0$ , et $g(y) \to 0$ quand $y \to 0$ ; pourtant $g(f(x)) = g(0) = 1$ pour tout $x$ , donc $g \circ f \to 1 \neq 0$ . La fonction intérieure est posée exactement sur la valeur interdite $\ell = 0$ pour toujours, et la limite de $g$ en $0$ ignore ce que $g$ fait en $0$ . La clause du Corollaire 13.4 — ou bien $g(\ell) = m$ (c’est-à-dire $g$ continue en $\ell$ ), ou bien $f \neq \ell$ au voisinage de $x_0$ — est précisément ce qui exclut cela. L’idée à retenir : en pratique on compose des fonctions continues et la clause est gratuite ; elle ne mord que lorsque les limites sont prises le long de voisinages épointés, raison pour laquelle la définition de $\lim_{x \to x_0}$ utilisée dans ce livre inclut le point lorsqu’il appartient au domaine.

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