Wat is Limiet in een punt? — Wiskunde

Definitie 21.2 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 21 — Limieten en continuïteit

Zij $a \in \R$ en zij $f$ gedefinieerd in de buurt van $a$ (behalve eventueel in $a$ zelf). We zeggen dat $f$ in $a$ naar $\ell \in \R$ streeft, geschreven $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , wanneer er voor elke $\varepsilon > 0$ een $\delta > 0$ bestaat zodat $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ voor alle $x \in D$ met $\abs{x - a} \leq \delta$ .

We zeggen dat $f$ in $a$ naar $+\infty$ streeft wanneer er voor elke $M$ een $\delta > 0$ bestaat zodat $f(x) \geq M$ zodra $x \in D$ en $\abs{x - a} \leq \delta$ . Eenzijdige limieten ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) beperken $x$ tot $x > a$ of $x < a$ .

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 13.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 13 — Limieten en continuïteit

Zij $x_0 \in \overline{I}$ en $\ell \in \R$ . Dan gaat $f(x) \to \ell$ voor $x \to x_0$ wanneer

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Limieten in $\pm\infty$ en oneindige limieten worden volgens hetzelfde patroon gedefinieerd ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ wordt $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ wordt $f(x) \geq M'$ ). Eenzijdige limieten beperken $x$ tot $x > x_0$ (genoteerd $x \to x_0^+$ ) of tot $x < x_0$ . De limiet is uniek zodra ze bestaat (hetzelfde bewijs als Propositie 11.4).

Voorbeelden

Voorbeeld 13.2 (Een limiet door insluiting)

Bereken $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . De insluiting van de vloer $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ geeft, na vermenigvuldigen met $x$ (let op het teken!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

en beide eenzijdige insluitingen sluiten zich op $1$ : de limiet is $1$ . Merk op wat er gebeurde: $\lfloor \frac1x\rfloor$ alleen maakt vlak bij $0$ wilde sprongen, maar de factor $x$ temt elke sprong ( $x$ maal een sprong van $1$ is klein), en alleen de insluiting overleeft. Het inzicht tot slot: limieten van producten van een kleine factor met een factor van begrensde oscillatie zijn insluitproblemen en nooit problemen voor de stelling over de bewerkingen — die vergt dat beide factoren convergeren.

Voorbeeld 13.5 (Waarom het voorbehoud bij de samenstelling bestaat)

Zij $g(y) = 0$ voor $y \neq 0$ en $g(0) = 1$ , en zij $f$ identiek $0$ . Dan gaat $f(x) \to 0$ voor $x \to 0$ en $g(y) \to 0$ voor $y \to 0$ ; en toch is $g(f(x)) = g(0) = 1$ voor elke $x$ , zodat $g \circ f \to 1 \neq 0$ . De binnenste functie zit voor altijd precies op de verboden waarde $\ell = 0$ , en de limiet van $g$ in $0$ negeert wat $g$ in $0$ doet. Het voorbehoud van Gevolg 13.4 — ofwel $g(\ell) = m$ (dus $g$ continu in $\ell$ ), ofwel $f \neq \ell$ nabij $x_0$ — sluit precies dit uit. Het inzicht tot slot: in de praktijk stel je continue functies samen en is het voorbehoud gratis; het bijt alleen wanneer limieten langs geperforeerde omgevingen genomen worden, en daarom sluit de definitie van $\lim_{x \to x_0}$ in dit boek het punt zelf in wanneer het in het domein ligt.

Lees in het hoofdstuk →