O que é Limite em um ponto? — Matemática

Definição 21.2 Matemática do ensino médio · Capítulo 21 — Limites e continuidade

Seja $a \in \R$ e seja $f$ definida perto de $a$ (exceto, talvez, em $a$ ). Dizemos que $f$ tende a $\ell \in \R$ em $a$ , o que se escreve $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , se, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in D$ com $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Dizemos que $f$ tende a $+\infty$ em $a$ se, para todo $M$ , existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ sempre que $x \in D$ e $\abs{x - a} \leq \delta$ . Os limites laterais ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restringem $x$ a $x > a$ ou $x < a$ .

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Definição 13.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 13 — Limites e Continuidade

Sejam $x_0 \in \overline{I}$ e $\ell \in \R$ . Então $f(x) \to \ell$ quando $x \to x_0$ se

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Os limites em $\pm\infty$ e os limites infinitos são definidos pelo mesmo padrão ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ passa a $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ passa a $f(x) \geq M'$ ). Os limites laterais restringem $x$ a $x > x_0$ (escrito $x \to x_0^+$ ) ou a $x < x_0$ . O limite é único quando existe (mesma demonstração da Proposição 11.4).

Exemplos

Exemplo 13.2 (Um limite pelo confronto)

Calcule $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . O enquadramento da parte inteira $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ dá, após multiplicar por $x$ (atenção ao sinal!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

e os dois confrontos laterais se fecham sobre $1$ : o limite é $1$ . Note o que aconteceu: $\lfloor \frac1x\rfloor$ sozinha tem saltos selvagens perto de $0$ , mas o fator $x$ doma cada salto ( $x$ vezes um salto unitário é pequeno), e só o enquadramento sobrevive. A ideia de fechamento: limites de produtos de um fator pequeno por um fator de oscilação limitada são problemas de confronto, nunca problemas do teorema das operações — o teorema das operações precisa que ambos os fatores convirjam.

Exemplo 13.5 (Por que a ressalva da composição existe)

Sejam $g(y) = 0$ para $y \neq 0$ e $g(0) = 1$ , e seja $f$ identicamente $0$ . Então $f(x) \to 0$ quando $x \to 0$ , e $g(y) \to 0$ quando $y \to 0$ ; e, no entanto, $g(f(x)) = g(0) = 1$ para todo $x$ , de modo que $g \circ f \to 1 \neq 0$ . A função interna fica exatamente sobre o valor proibido $\ell = 0$ para sempre, e o limite de $g$ em $0$ ignora o que $g$ faz em $0$ . A ressalva do Corolário 13.4 — ou $g(\ell) = m$ (isto é, $g$ contínua em $\ell$ ), ou $f \neq \ell$ perto de $x_0$ — é precisamente o que exclui isso. A ideia de fechamento: na prática compõem-se funções contínuas e a ressalva é gratuita; ela morde apenas quando os limites são tomados ao longo de vizinhanças perfuradas, e é por isso que a definição de $\lim_{x \to x_0}$ usada neste livro inclui o ponto quando ele está no domínio.

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