¿Qué es Límite en un punto? — Matemáticas

Definición 21.2 Matemáticas de secundaria · Capítulo 21 — Límites y continuidad

Sea $a \in \R$ y sea $f$ definida cerca de $a$ (salvo, quizá, en $a$ ). Decimos que $f$ tiende a $\ell \in \R$ en $a$ , y escribimos $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in D$ con $\abs{x - a} \leq \delta$ , se cumple $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $a$ si para todo $M$ existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ siempre que $x \in D$ y $\abs{x - a} \leq \delta$ . Los límites laterales ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restringen $x$ a $x > a$ o a $x < a$ .

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Definición 13.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 13 — Límites y continuidad

Sean $x_0 \in \overline{I}$ y $\ell \in \R$ . Se dice que $f(x) \to \ell$ cuando $x \to x_0$ si

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Los límites en $\pm\infty$ y los límites infinitos se definen con el mismo patrón ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ se convierte en $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ , en $f(x) \geq M'$ ). Los límites laterales restringen $x$ a $x > x_0$ (se escribe $x \to x_0^+$ ) o a $x < x_0$ . El límite es único cuando existe (misma demostración que en la Proposición 11.4).

Ejemplos

Ejemplo 13.2 (Un límite por emparedado)

Calcúlese $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . El encuadre de la parte entera $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ da, multiplicando por $x$ (¡ojo al signo!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

y los dos emparedados laterales se cierran sobre $1$ : el límite es $1$ . Obsérvese lo ocurrido: $\lfloor \frac1x\rfloor$ por sí solo da saltos salvajes cerca de $0$ , pero el factor $x$ domestica cada salto ( $x$ por un salto unidad es pequeño) y solo sobrevive el encuadre. La idea de cierre: los límites de productos de un factor pequeño por un factor de oscilación acotada son problemas de emparedado, nunca problemas del teorema de las operaciones — este último necesita que converjan los dos factores.

Ejemplo 13.5 (Por qué existe la salvedad de la composición)

Sea $g(y) = 0$ para $y \neq 0$ y $g(0) = 1$ , y sea $f$ idénticamente $0$ . Entonces $f(x) \to 0$ cuando $x \to 0$ , y $g(y) \to 0$ cuando $y \to 0$ ; y, sin embargo, $g(f(x)) = g(0) = 1$ para todo $x$ , luego $g \circ f \to 1 \neq 0$ . La función interior se sienta exactamente sobre el valor prohibido $\ell = 0$ para siempre, y el límite de $g$ en $0$ ignora lo que $g$ hace en $0$ . La salvedad del Corolario 13.4 —o bien $g(\ell) = m$ (es decir, $g$ continua en $\ell$ ), o bien $f \neq \ell$ cerca de $x_0$ — es justo lo que excluye este caso. La idea de cierre: en la práctica se componen funciones continuas y la salvedad sale gratis; solo muerde cuando los límites se toman a lo largo de entornos perforados, y por eso la definición de $\lim_{x \to x_0}$ usada en este libro incluye el punto cuando está en el dominio.

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