يمدّد هذا الفصل مفهوم النهاية من المتتاليات إلى دوال المتغير الحقيقي، ويقدّم الاتصال. والنتيجة المركزية هي مبرهنة القيم الوسطى، التي تحوّل معلومة نوعية (“fمتصلة وتغيّر إشارتها”) إلى وجود حلول لمعادلات.
21.1 نهايات الدوال
في هذا الفصل كله، fدالة معرَّفة على فترة أو على اتحاد فترات D⊆R.
تعريف 21.1(النهاية عند ما لا نهاية)
لتكن f معرَّفة على فترة[a,+∞) وليكن ℓ∈R. نقول إن fتؤول إلى ℓ عند +∞، ونكتب x→+∞limf(x)=ℓ، إذا كانت كل فترة مفتوحة تحوي ℓ تحوي كل القيم f(x) من أجل x كبير بما يكفي: أي إنه من أجل كل ε>0 يوجد A بحيث يكون من أجل كل x≥A، ∣f(x)−ℓ∣≤ε.
ونقول إن f تؤول إلى +∞ عند +∞ إذا وُجد، من أجل كل M∈R، عدد A بحيث يكون f(x)≥M من أجل كل x≥A. وتُعرَّف النهايات عند −∞ والنهايات المساوية −∞ بصورة نظيرة.
تعريف 21.2(النهاية عند نقطة)
ليكن a∈R ولتكن f معرَّفة بجوار a (إلا ربما عند a). نقول إن f تؤول إلى ℓ∈R عند a، ونكتب x→alimf(x)=ℓ، إذا وُجد من أجل كل ε>0 عدد δ>0 بحيث يكون من أجل كل x∈D حيث ∣x−a∣≤δ، ∣f(x)−ℓ∣≤ε.
ونقول إن f تؤول إلى +∞ عند a إذا وُجد من أجل كل M عدد δ>0 بحيث يكون f(x)≥M كلما كان x∈D و ∣x−a∣≤δ. وتقصر النهايات من جهة واحدة (x→a+، x→a−) المتغير x على x>a أو x<a.
مثال 21.3
x→+∞limx1=0، x→0+limx1=+∞، x→0−limx1=−∞. أما الدالةx↦x1 فليست لها نهاية (من الجهتين) عند 0.
تعريف 21.4(المقاربات)
يكون المستقيم y=ℓمقاربًا أفقيًالمنحنىf عند +∞ (أو −∞) إذا كان limx→+∞f(x)=ℓ (أو عند −∞). ويكون المستقيم x=aمقاربًا شاقوليًا إذا كان للدالةf نهاية لانهائية من جهة واحدة عند a.
منحنىf(x)=2+x−11 مع مقاربه الأفقي y=2 (عند ±∞) ومقاربه الشاقولي x=1.
قضية 21.5(العمليات على النهايات)
تصح قواعد القضية 20.14 (المجاميع والجداءات وخارج القسمة) حرفيًا من أجل نهايات الدوال، عند نقطة أو عند ما لا نهاية، مع الصور غير المحددة الأربع نفسها (+∞)+(−∞) و 0×∞ و ∞∞ و 00.
برهان. البراهين مطابقة لحالة المتتاليات، بتعويض “من أجل n≥N” بالعبارة “من أجل x≥A” أو “من أجل ∣x−a∣≤δ”. ∎
مبرهنة 21.6(نهاية دالة مركَّبة)
لتكن f,g دالتين وليكن a,b,c أعدادًا حقيقية أو ±∞. إذا كان x→alimf(x)=b و y→blimg(y)=c، فإن
x→alimg(f(x))=c.
وتصح العبارة نفسها بمتتالية محل f: إذا كان un→b و limy→bg(y)=c، فإن g(un)→c.
برهان. خذ b,c منتهيين (والحالات الأخرى نظيرة). ليكن ε>0. يوجد δ>0 بحيث يستلزم ∣y−b∣≤δ أن ∣g(y)−c∣≤ε؛ ويوجد δ′>0 بحيث يستلزم ∣x−a∣≤δ′ أن ∣f(x)−b∣≤δ. وبربط الاثنين نجد ∣g(f(x))−c∣≤ε من أجل ∣x−a∣≤δ′. ∎
مبرهنة 21.7(المقارنة والحصر)
لتكن f,g,h دوالًا وليكن a∈R∪{±∞}.
إذا كان f≤g بجوار a و f(x)→+∞ لما x→a، فإن g(x)→+∞.
إذا كان f≤g≤h بجوار a وآلت f,h إلى النهاية المنتهية نفسها ℓ عند a، فإن g(x)→ℓ لما x→a.
برهان. الحجة نفسها كما في حالة المتتاليات (المبرهنة 20.16). ∎
طريقة 21.8(حساب النهايات عمليًا)
كثيرات الحدود والدوال الناطقة عند ±∞: أخرج أعلى قوة للمتغير x عاملًا مشتركًا؛ فالنهاية هي نهاية نسبة الحدين المهيمنين.
الصورة 00 عند نقطة a: أخرج (x−a) عاملًا مشتركًا من البسط ومن المقام، أو تعرّف على مشتقةlimx→ax−af(x)−f(a)=f′(a) (الفصل 22).
الجذور التربيعية: اضرب في العبارة المرافقة.
العوامل المتذبذبة (cos و sin): استعمل مبرهنة الحصر.
21.2 الاتصال
تعريف 21.9(الاتصال)
لتكن f معرَّفة على فترةI وليكن a∈I. تكون الدالةfمتصلة عند a إذا كان x→alimf(x)=f(a). وتكون متصلة على I إذا كانت متصلة عند كل نقطة من I.
كثيرات الحدود والدوال الناطقة و x↦x و x↦∣x∣ و cos و sin و exp و lnمتصلة على كل فترة محتواة في مجموعة تعريفها. ومجاميع الدوال المتصلة وجداءاتها وخارج قسمتها (حيث تُعرَّف) ومركباتها متصلة.
برهان جزئي. ينتج الاستقرار بالجمع والضرب والقسمة والتركيب من المبرهنات الموافقة على النهايات. واتصالx↦x والدوال الثابتة مباشر من التعريف، ومنه فإن كثيرات الحدود والدوال الناطقة متصلة. أما اتصال بقية الدوال المألوفة فمبرهَن عليه في الفصول التي تُبنى فيها، أو مقبول. ∎
مثال 21.11
دالة الجزء الصحيحx↦⌊x⌋ (وهي أكبر عدد صحيح≤x) ليست متصلة عند أي عدد صحيحn: فنهايتها اليسرى هناك هي n−1 بينما ⌊n⌋=n.
تقفز دالة الجزء الصحيح عند كل عدد صحيح: فالقيمة (النقطة المملوءة) تختلف عن النهاية اليسرى (النقطة المفرَّغة).
قضية 21.12(المتتاليات والاتصال)
إذا كان un→ℓ وكانت fمتصلة عند ℓ، فإن f(un)→f(ℓ). وخاصة، إذا تقاربت متتالية معرَّفة بالعلاقة un+1=f(un) إلى ℓ وكانت fمتصلة عند ℓ، فإن f(ℓ)=ℓ.
برهان. الادعاء الأول هو المبرهنة 21.6 مطبَّقة على المتتالية(un). وأما الثاني، فانتقل إلى النهاية في طرفي un+1=f(un): فالطرف الأيسر يؤول إلى ℓ، والطرف الأيمن إلى f(ℓ)، والنهايات وحيدة. ∎
21.3 مبرهنة القيم الوسطى
مبرهنة 21.13(مبرهنة القيم الوسطى)
لتكن fمتصلة على [a,b] وليكن k أي عدد محصور بين f(a) و f(b). عندئذٍ يوجد c∈[a,b] بحيث f(c)=k.
مبرهنة القيم الوسطى: لا بد لمنحنى متصل يصل (a,f(a)) بالنقطة (b,f(b)) من أن يقطع كل مستقيم أفقي y=k يقع بين f(a) و f(b).
برهان. بتعويض fبالدالةf−k (وبالدالة k−f عند اللزوم)، يمكننا أن نفترض f(a)≤0≤f(b) وأن نبحث عن صفر للدالةf. ونبني متتاليتين بالتنصيف: ضع a0=a و b0=b؛ وإذا أُعطي an≤bn مع f(an)≤0≤f(bn)، فليكن m=2an+bn ونعرّف
(an+1,bn+1)={(an,m)(m,bn)إذا كان f(m)≥0,إذا كان f(m)<0.
وفي الحالتين يكون f(an+1)≤0≤f(bn+1)، والمتتالية(an)متزايدة، و (bn)متناقصة، و bn−an=2nb−a→0: فالمتتاليتان متجاورتان (انظر التمرين 20.10) وتتقاربان إلى نهاية مشتركة c∈[a,b]. وبالاتصال، f(an)→f(c) و f(bn)→f(c)؛ وبالانتقال إلى النهاية في f(an)≤0 و f(bn)≥0 نجد f(c)≤0≤f(c)، إذن f(c)=0. ∎
ملاحظة 21.14
برهان التنصيف خوارزمية: فهو يعطي تقريبات دقيقة كما نشاء لحل ما، ويُنصّف الخطأ عند كل خطوة. وهكذا يمكن لحاسوب أن يحل f(x)=0 وهو لا يعرف إلا كيف يحسب قيم f.
مبرهنة 21.15(مبرهنة التقابل)
لتكن fمتصلة ورتيبة تمامًا على فترةI. عندئذٍ يكون للمعادلةf(x)=k، من أجل كل k محصور تمامًا بين نهايتي f عند طرفي I، حل وحيد في I.
برهان. الوجود: اختر a,b∈I بحيث يقع k بين f(a) و f(b) (وهذا ممكن لأن قيم f تقترب من نهاياتها عند الطرفين)، ثم طبّق مبرهنة القيم الوسطى على [a,b]. والوحدانية: إذا كان x<y، أعطت الرتابة التامة أن f(x)=f(y)، إذن لا يمكن أن تكون نقطتان مختلفتان حلَّين معًا. ∎
طريقة 21.16(حل f(x)=k بمبرهنة التقابل)
لتبرهن على أن للمعادلةf(x)=k حلًا واحدًا بالضبط في فترة:
على كل فترة تكون f فيها متصلةورتيبة تمامًا، قارن k بالقيم أو النهايات عند الطرفين؛
طبّق مبرهنة التقابل على كل فترة كهذه وعُدّ الحلول.
ثم تحدّد آلة حاسبة أو التنصيف موضع كل حل بالدقة المطلوبة.
مثال 21.17
للمعادلةx3+x=1 حل حقيقي وحيد. وفعلًا، f(x)=x3+xمتصلةومتزايدة تمامًا على R (بوصفها مجموع دالتين متزايدتين تمامًا)، و lim−∞f=−∞ و lim+∞f=+∞، إذن تنطبق مبرهنة التقابل مع k=1. وبما أن f(0.6)=0.816<1 و f(0.7)=1.043>1، فإن الحل يقع في (0.6,0.7).
اكتب f(x)=x+23x−1=x+23(x+2)−7=3−x+27. فلما x→±∞، يكون f(x)→3: إذن المستقيم y=3مقارب أفقي عند اللانهايتين. ولما x→(−2)±، f(x)→∓∞: إذن المستقيم x=−2مقارب شاقولي. والمنحنىقطع زائد، يقع تحت y=3 من أجل x>−2 وفوقه من أجل x<−2.
بيّن أن f(x)→+∞ لما x→+∞، مع أن f ليست رتيبة على أي فترة[A,+∞).
بيّن أن g(x)=x−sinxx+sinx تؤول إلى 1 عند +∞.
حل
حل التمرين 21.5.
1. بما أن sinx≥−1، فإن f(x)≥x−1→+∞، ونستنتج بالمقارنة. ومع ذلك فإن f′(x)=1+cosx تنعدم عند كل مضاعف فردي للعدد π، وعلى كل فترة[A,+∞) تتناوب الدالة بين فترات تزايد تام؛ فهي متزايدة لكن ليس تمامًا، والأهم أن تزايدها ليس لازمًا: فالمقارنة تكفي.
2. من أجل x>1، اقسم على x:
g(x)=1−xsinx1+xsinx,
و xsinx→0 بمبرهنة الحصر (∣sinx∣≤1). ومنه g(x)→1−01+0=1.
تمرين 21.6★★
بيّن أن للمعادلةx3−3x+1=0 ثلاثة حلول حقيقية بالضبط، وأعطِ من أجل كل منها فترة طولها 1 تحويه. (إرشاد: ادرس تغيرات f(x)=x3−3x+1؛ ومشتقتها هي 3x2−3.)
حل
حل التمرين 21.6.
f(x)=x3−3x+1متصلة، مع f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1): فتتزايد f على (−∞,−1]، وتتناقص على [−1,1]، وتتزايد على [1,+∞)، مع قيمة عظمى محلية f(−1)=3>0 و قيمة صغرى محلية f(1)=−1<0، و lim−∞f=−∞، و lim+∞f=+∞.
وعلى كل فترة من فترات الرتابة الثلاث، تكون fمتصلةورتيبة تمامًا، ويقع 0 تمامًا بين القيم أو النهايات عند الطرفين، إذن تعطي مبرهنة التقابل صفرًا واحدًا بالضبط في كل فترة: أي ثلاثة أصفار في المجموع. والتحقق من الإشارات: f(−2)=−1<0<f(−1)=3، إذن صفر واحد في (−2,−1)؛ و f(0)=1>0>f(1)=−1، فصفر واحد في (0,1)؛ و f(1)=−1<0<f(2)=3، فصفر واحد في (1,2).
تمرين 21.7★★
لتكن f:[0,1]→[0,1]متصلة. بيّن أن للدالةfنقطة ثابتة: أي أنه يوجد c∈[0,1] بحيث f(c)=c. (إرشاد: طبّق مبرهنة القيم الوسطى على g(x)=f(x)−x.)
حل
حل التمرين 21.7.
لتكن g(x)=f(x)−x، وهي متصلة على [0,1]. وبما أن f(0)∈[0,1]، فإن g(0)=f(0)≥0؛ وبما أن f(1)∈[0,1]، فإن g(1)=f(1)−1≤0. وبمبرهنة القيم الوسطى، تنعدم g عند c∈[0,1] ما، أي f(c)=c.
تمرين 21.8★★★
تصعد متنزّهة درب جبل، فتنطلق عند 8:00 وتصل عند 20:00. وفي اليوم التالي تنزل الدرب نفسه، منطلقة عند 8:00 وواصلة عند 20:00. بيّن أن ثمة لحظة من اليوم تكون فيها عند النقطة نفسها بالضبط من الدرب في اليومين. (إرشاد: أدخل الفرق بين دالتي الموضع.)
حل
حل التمرين 21.8.
ليكن u(t) و d(t) الموضعين (مقيسين بالمسافة من أسفل الدرب) عند اللحظة t∈[8,20] في الصعود وفي النزول. وكلاهما متصل، مع u(8)=0 و u(20)=L (وهو طول الدرب) و d(8)=L و d(20)=0. والدالةg=u−dمتصلة مع g(8)=−L≤0 و g(20)=L≥0، إذن g(c)=0 عند لحظة c ما بمبرهنة القيم الوسطى: أي إن الموضعين في اليومين يتطابقان عند اللحظة c.
تمرين 21.9★★★
لتكن f(x)=x5+x3+x−1.
بيّن أن للدالةf صفرًا حقيقيًا وحيدًا α، وأن α∈(0,1).
صِف إجراء تنصيف يحسب α بدقة 10−6، وأعطِ عدد التكرارات اللازمة انطلاقًا من [0,1].
حل
حل التمرين 21.9.
1.f′(x)=5x4+3x2+1>0، إذن fمتزايدة تمامًا على R؛ ومع lim±∞f=±∞والاتصال، تعطي مبرهنة التقابل صفرًا حقيقيًا وحيدًا α. وبما أن f(0)=−1<0 و f(1)=2>0، فإن α∈(0,1).
2. احتفظ بفترة[an,bn] حيث f(an)<0<f(bn)، انطلاقًا من [0,1]؛ وعند كل خطوة احسب قيمة f عند المنتصفm واحتفظ بنصف الفترة الذي يستمر فيه تغير الإشارة. وبعد n خطوة يصير طول الفترة2−n، إذن يقرّب المنتصفα بدقة 2−(n+1). ونحتاج إلى 2−(n+1)≤10−6، أي n+1≥log1026≈19.93: إذن n=20 تكرارًا تكفي.
21.5 مسألة: لا تعبر نهرًا دون أن تبتلّ
مسألة 21.1
مسألة نهاية الأسبوع — مبرهنة القيم الوسطى تفرض النقط الثابتة، والنقط المتقابلة المتساوية الحرارة، والطاولات الثابتة: ثلاث مبرهنات تبدو مستحيلة من فكرة واحدة
كوّر خريطة لبلد ما وألقها في أي مكان من أرض ذلك البلد: فثمة نقطة من الخريطة تقع بالضبط فوق الموضع الذي تمثّله. وفي كل لحظة، توجد نقطتان متقابلتان قطريًا على خط الاستواء لهما بالضبط درجة الحرارة نفسها. وأي طاولة مربعة متأرجحة على أرض متعرجة يمكن دائمًا تثبيتها بإدارتها. ثلاث حيل، ومبرهنة واحدة: فمقدار متصل لا يمكن أن ينتقل من السالب إلى الموجب دون أن ينعدم (المبرهنة 21.13). وتدرّب هذه المسألة على النهايات، ثم تبني العجائب الثلاث كلها — وتعرف بالضبط ما لا تعد به المبرهنة.
الجزء الأول — التمكّن من النهايات.
احسب limx→+∞x2+53x2−x، limx→+∞x2+12x+1، و limx→+∞(x3−x2) (الطريقة 21.8).
برهن على العبارة الكلاسيكية: لكل كثير حدود درجته فرديةجذر حقيقي واحد على الأقل. (اكتب الحجة من أجل p(x)=x3+ax2+bx+c: احسب النهايتين اللانهائيتين بالحد المهيمن، ثم طبّق مبرهنة القيم الوسطى على فترة كبيرة.)
المثال المضاد الذي يحرس المبرهنة: تحقق g(x)=x1 أن g(−1)=−1<0 و g(1)=1>0، ومع ذلك لا تنعدم أبدًا. فأي فرضية من فرضيات مبرهنة القيم الوسطى تسقط — وماذا يعلّمنا المثال عن التحقق من الفرضيات؟
الجزء الثالث — ثلاث مبرهنات تبدو مستحيلة.
مبرهنة النقطة الثابتة على القطعة: إذا كانت f:[0,1]→[0,1]متصلة، فبرهن على أن ثمة c تحقق f(c)=c. (ادرس g(x)=f(x)−x عند الطرفين.)
ترجم السؤال 11 إلى لغة الخريطة المكوّرة: ما الذي يلعب دور f، ولماذا تقع صورته في [0,1] (مجازًا: داخل البلد)، وما النقطة الواقعة بالضبط فوق موضعها؟ (وثمة بُعد واحد مقبول في صمت — والعبارة الأمينة ذات البعدين هي مبرهنة براور، في الكتب الجامعية.)
خط الاستواء: لتكن T درجة حرارة متصلة على دائرة، منظورًا إليها بوصفها دالة دورية دورها 2π حيث T(0)=T(2π). ضع g(t)=T(t)−T(t+π). احسب g(0)+g(π)، واستنتج أن g تنعدم في مكان ما من [0,π]، ثم صُغ المبرهنة المتعلقة بالنقطتين المتقابلتين.
الطاولة المتأرجحة: طاولة مربعة صلبة تمامًا تقف على أرض متعرجة متصلة (بلا درجات!)؛ فثلاث أرجل تلامس دائمًا، وواحدة تحوم على ارتفاع h(θ) يتعلق اتصاليًّا بزاوية دوران الطاولة θ. فسّر لماذا يفرض الدوران بربع دورة أن تغيّر فجوة التحويم إشارتها — واستنتج أن ثمة زاوية θ∗ تثبّت الأرجل الأربع كلها. (وقد نُشرت هذه الحجة مبرهنةً حقيقية في سنة 2005؛ وأصحاب المقاهي عرفوا الحيلة قبل ذلك.)
استعملت متنزّهة التمرين 21.8 المخطط نفسه. صُغ في ثلاثة أسطر القالب المشترك بين الأسئلة 11 و 13 و 14 والمتنزّهة — أي دالة تبني، وماذا تتحقق منه عند الطرفين، وماذا تستدعي.
ما لا تعطيه مبرهنة القيم الوسطى: فقد جاء الوجود بلا مقابل، لكن أي سؤالين يتركهما مفتوحين، وأي أدوات في هذه المسألة تجيب عنهما (السؤالان 7 و 9)؟
الجزء الرابع — صور مع مقاربات.
أعد كتابة f(x)=x+23x−1 على الصورة 3−x+27 واستعملها لوصف المنحنى وصفًا كاملًا: المقاربات، والتغيرات على كل جهة، والرسم التقريبي. (وهو قطع زائد منسحب — ومنحنى التكلفة المتوسطة في المسألة 4.1 كان كذلك.)
الدالةf(x)=x−1x2−1 غير معرَّفة عند 1. فأي قيمة تُسنَد إلى f(1) تجعلها متصلة هناك — ولماذا يسمّي المحلّلون نقطة كهذه انقطاعًا قابلًا للرفع؟
دالة الجزء الصحيح x↦⌊x⌋ (أكبر عدد صحيح≤x): أين تكون متصلة، وأين تقفز، ولماذا تسقط خاتمة مبرهنة القيم الوسطى من أجلها (أوجد a<b حيث ⌊a⌋<21<⌊b⌋ ومع ذلك لا حل للمعادلة⌊x⌋=21)؟
الخاتمة — وجها الاتصال: الوعد المحلي (القيمة = النهاية: فلا انتقال آني) والقوة الشاملة (مبرهنة القيم الوسطى: فكل قيمة وسطى تُزار). صنّف عجائب الجزء الثالث الأربع تحت الوجه الصحيح، وأعطِ شعار عبور النهر اسمه الرياضي الدقيق.
حل
حل المسألة 21.1.
1. الحدود المهيمنة: x23x2→3؛ x22x=x2→0؛ x3−x2=x3(1−x1)→+∞.
2.limx→±∞f=3: فالمقارب الأفقي y=3؛ و limx→(−2)±f=∓∞: فالمقارب الشاقولي x=−2.
3.x−3(x−3)(x+3)=x+3→6. و xx+1−1=x(x+1+1)x=x+1+11→21.
4.xsinx1≤∣x∣→0، إذن النهاية هي 0. و xsinx≤x1→0: فالنهاية 0.
6.f(x)=x3+xمتصلة مع f(1)=2<5<10=f(2): فبمبرهنة القيم الوسطى، f(c)=5 من أجل c∈(1,2) ما.
7.f′(x)=3x2+1>0: فهي متزايدة تمامًا على R، ومتصلة، ونهايتاها ∓∞: فبمبرهنة التقابل، تُبلَغ كل قيمة — وخاصة 5 — مرة واحدة بالضبط.
8.p(x)=x3(1+xa+x2b+x3c): فلما x→+∞، يكون p→+∞؛ ولما x→−∞، يكون p→−∞. إذن على فترة ضخمة ما [−M,M]، يكون p(−M)<0<p(M): فتسلّم مبرهنة القيم الوسطى جذرًا. وتصح حجة الحد المهيمن نفسها حرفيًا من أجل أي درجة فردية — فالقوى الفردية تحتفظ بإشارتين متعاكستين عند اللانهايتين.
9. التنصيف n مرة يترك فترة طولها 2−n؛ و 2−20≈9.5×10−7<10−6: أي عشرون خطوة. أما نيوتن فيضاعف الأرقام الصحيحة عند كل خطوة: فمن رقم صحيح واحد، تبلغ 3–4 خطوات ستة أرقام — إنهما السلحفاة والسلوقي في اقتناص الجذور.
10.g ليست متصلة على [−1,1]: فهي تنفجر عند 0، وهو داخل الفترة. فخاتمة مبرهنة القيم الوسطى تتبخر مع فرضيتها — فتحقق دائمًا من الاتصالعلى الفترة كلها، لا عند الطرفين وحدهما.
11.g(x)=f(x)−xمتصلة؛ و g(0)=f(0)≥0 (لأن القيم تقع في [0,1]) و g(1)=f(1)−1≤0. فبمبرهنة القيم الوسطى، g(c)=0 من أجل c ما: أي f(c)=c.
12. بمثلنة البلد على أنه القطعة [0,1]: ترسل f كل موضع إلى الموضع المبيَّن تحته مباشرة على الخريطة المكوّرة؛ والتكوير يبقي الخريطة فوق البلد، إذن تقع صورة f في [0,1]، وهي متصلة (فالورق لا يتمزق). والنقطة الثابتةc هي الموضع الواقع بالضبط فوق صورته — ومبرهنة براور تعالج الخريطة الأمينة ذات البعدين.
13.g(0)+g(π)=(T(0)−T(π))+(T(π)−T(2π))=T(0)−T(2π)=0. إذن g(0) و g(π) متعاكسان (أو معدومان معًا): وفي الحالتين تنعدم g، وهي متصلة، عند t∗∈[0,π] ما: T(t∗)=T(t∗+π) — أي إن ثمة، في مكان ما من خط الاستواء، نقطتين متقابلتين تتفقان في درجة الحرارة، في كل لحظة.
14. إدارة الطاولة بربع دورة تبادل دوري القطرين: فزوج الأرجل الذي كان يضغط الأرض وزوج الأرجل الذي كانت إحداهما تحوم يتبادلان الوضعين، إذن يأخذ ارتفاع التحويم — محسوبًا بإشارته بوصفه “فجوة القطر المميز” — إشارتين متعاكستين عند θ وعند θ+2π. والأرض المتصلة تجعل hمتصلة، وتسلّم مبرهنة القيم الوسطى زاوية θ∗ حيث h(θ∗)=0: فالأرجل الأربع على الأرض. (ولا حظّ كهذا مع طاولة مستطيلة أو أرض ذات درجات.)
15. القالب: ابنِ فرق المقدارين اللذين تريد لهما أن يتطابقا (f(x)−x؛ و T(t)−T(t+π)؛ وموضع الصعود ناقص موضع النزول عند المتنزّهة؛ والفجوة ذات الإشارة عند الطاولة)؛ ثم تحقق من أنه يأخذ قيمًا بالإشارتين (وغالبًا عبر تناظر بين الطرفين)؛ ثم استدعِ مبرهنة القيم الوسطى على دالة متصلة. فيُفرَض التطابق.
16. السؤالان المفتوحان: كم حلًا (وتجيب عنه الرتابة التامة ومبرهنة التقابل، في السؤال 7) وأين تقع الحلول (ويجيب عنه التنصيف أو نيوتن، في السؤال 9). فمبرهنة القيم الوسطى عرّافة وجود خالصة.
17.3−x+27: فالمقارب الشاقولي x=−2، والأفقي y=3؛ وعلى كل جهة من −2 تكون الدالة متزايدة (لأن −x+27متزايدة حيث تُعرَّف)؛ والمنحنى هو القطع الزائد المرجعي −x7 منسحبًا 2 إلى اليسار و 3 إلى الأعلى — فرعان يعانقان تقاطع المقاربين.
18. من أجل x=1: f(x)=x+1، إذن limx→1f=2: فوضع f(1)=2 يعيد الاتصال. فالانقطاع كان ثقبًا لا قفزة — فاملأ النقطة المفقودة الوحيدة يلتئم المنحنى: انقطاع قابل للرفع.
19.متصلة على كل فترة بين عددين صحيحين متتاليين؛ وعند كل عدد صحيحn تقفز من n−1 إلى n. ومع a=0.9 و b=1.1: ⌊a⌋=0<21<1=⌊b⌋، ومع ذلك ⌊x⌋=21 ليس له حل — فالقفزة تنتقل آنيًا فوق 21، وهذا بالضبط ما تمنع مبرهنة القيم الوسطى الدوال المتصلة من فعله.
20. الوجه المحلي: القيمة = النهاية عند كل نقطة — وقد خرقه الثقب القابل للرفع (السؤال 18) خرقًا قابلًا للشفاء، وخرقته قفزات الجزء الصحيح (السؤال 19) خرقًا لا شفاء له. والوجه الشامل: على فترة، تُزار كل القيم الوسطى — وهنا تعيش شهادات الجذور (6–8)، والنقطة الثابتة، وخط الاستواء، والطاولة، والمتنزّهة. واسم الشعار الرسمي: مبرهنة القيم الوسطى.
