الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

19المعادلات التفاضلية العادية

حلّت السنة الجامعية 2 المعادلات التفاضلية الخطية وصاغت مبرهنة كوشي–ليبشيتز؛ ويبرهن هذا الفصل عليها — مرتين: الوجود والوحدانية بنقطة باناخ الصامدة، والبنية الشاملة بنظرية الحلول الأعظمية ومبرهنة الهروب من المتراصات. ثم يُعاد بناء النظرية الخطية على أسس أمينة (المُحلِّل، والفرونسكياني، والأُسّي المصفوفي، ودوهاميل)، ويفتح النصف الثاني من الفصل النظرية النوعية — الانسيابات، ومواضع التوازن، ودوال ليابونوف، والاستقرار بالخطّية: أي كيف نفهم حلولًا لن نحسبها أبدًا. والنواس، في مسألة نهاية الأسبوع، هو دراسة الحالة الأبدية. وفي كل ما يلي، تكون $U \subseteq \R\times\R^d$ مفتوحة وتكون $f \colon U \to \R^d$ متصلة؛ والحل للمعادلة $x' = f(t, x)$ هو تطبيق $x \colon I \to \R^d$ من الصنف $\mathcal C^1$ (حيث $I$ فترة) منحنيه البياني في $U$ ويحقق المعادلة.

19.1 كوشي–ليبشيتز

تعريف 19.1

تكون $f$ ليبشيتزية محليًّا في $x$ إذا كان لكل نقطة من $U$ جوارٌ $V$ وثابتٌ $L$ يحققان $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ من أجل $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . وإذا كانت $f$ من الصنف $\mathcal C^1$ (أو مجرّد وجود $\partial_xf$ واتصالها)، كانت ليبشيتزية محليًّا في $x$ : أي على جوار محدّب متراص، بمتراجحة القيم المتوسطة مع $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

مبرهنة 19.2 (كوشي–ليبشيتز، الصيغة المحلية)

لتكن $f$ متصلة وليبشيتزية محليًّا في $x$ ، ولتكن $(t_0, x_0) \in U$ . يوجد $T > 0$ بحيث يكون لمسألة كوشي

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

حلٌّ واحد بالضبط على $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

برهان. نختار $a, b > 0$ بحيث $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ ، ويكون عليه $\norm f \leq M$ وتكون $f$ ليبشيتزية بالثابت $L$ في $x$ . والدالة من الصنف $\mathcal C^1$ حلٌّ إذا وفقط إذا حققت المعادلة التكاملية

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(بالمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل، بالاتجاهين). ولتكن $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ و $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ و

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{على} I\},

وهي جزء مغلق من فضاء باناخ $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : أي تام (التعريف 7.1). ونعرّف $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : فمن أجل $x \in \mathcal E$ ، $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — ومنه يرسل $\Phi$ المجموعةَ $\mathcal E$ في نفسها — ومن أجل $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

أي تقلّص. وتعطي نقطة باناخ الصامدة (المبرهنة 7.4) نقطةً صامدة وحيدة في $\mathcal E$ : أي الوجود، والوحدانية بين الحلول التي تبقى في $\bar B(x_0, b)$ — لكن كل حل على $I$ يبقى هناك ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ ما دام المنحني البياني في $Q$ ، بحجة اتصال): أي الوحدانية على $I$ . ∎

مبرهنة مساعدة 19.3 (غرونوال)

لتكن $u \colon I \to \intco0\infty$ متصلة، ولتكن $t_0 \in I$ ، ولنفترض أن

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

مع $\alpha \geq 0$ و $\beta > 0$ . عندئذٍ $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ على $I$ .

برهان. من أجل $t \geq t_0$ : لتكن $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ ، ومنه $u \leq v$ و $v' = \beta u \leq \beta v$ و $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : أي $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . ومن أجل $t \leq t_0$ نطبّق الشيء نفسه على $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

نتيجة 19.4 (الوحدانية والتعلّق الاتصالي)

تحت فرضيات المبرهنة 19.2، يتوافق حلّان للمعادلة $x' = f(t,x)$ يتوافقان عند نقطة واحدة على فترة تعريفهما المشتركة. وكمّيًّا، إذا كان $x, y$ حلّين منحنياهما البيانيان في منطقة تكون فيها $f$ ليبشيتزية بالثابت $L$ في $x$ ، فإن

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

برهان. التقدير: يحقق $u = \norm{x - y}$ أن $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (بطرح المعادلتين التكامليتين)؛ ثم غرونوال. وأما الوحدانية الشاملة: فمجموعة التوافق $\{t : x(t) = y(t)\}$ مغلقة في الفترة المشتركة، وغير خالية، ومفتوحة — إذ حول أي نقطة توافق، نغطّي قطعةً متراصة من المنحني البياني المشترك بعدد منتهٍ من صناديق ليبشيتز ونطبّق التقدير مع $u(t_1) = 0$ على كلٍّ منها: فيكون $x \equiv y$ محليًّا. وجزءٌ غير خالٍ مفتوح ومغلق من فترة هو الفترة كلها. ∎

19.2 الحلول الأعظمية

مبرهنة 19.5 (الحلول الأعظمية؛ الهروب من المتراصات)

لنفترض أن $f$ متصلة وليبشيتزية محليًّا في $x$ .

لكل مسألة كوشي حلٌّ أعظمي وحيد $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : وكل حل آخر يمرّ بالنقطة $(t_0, x_0)$ هو تضييقٌ له. والفترة مفتوحة.
(الهروب) من أجل كل متراصة $K \subseteq U$ يوجد $\varepsilon > 0$ بحيث $(t, x(t)) \notin K$ من أجل كل $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (وبالتناظر عند $T_-$ ): أي إن المنحني البياني لحل أعظمي يغادر في النهاية كل جزء متراص من $U$ . وعلى وجه الخصوص، من أجل $U = \R\times\R^d$ و $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ حين $t \to T_+^-$ (أي الانفجار).

برهان. (1) لتكن $\mathcal S$ مجموعةَ جميع الحلول المارّة بالنقطة $(t_0, x_0)$ ؛ فحسب النتيجة 19.4 يتوافق أي اثنين منها على تقاطع فترتيهما، ومنه تلتحم: فعلى $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ ، نعرّف $x(t) = y(t)$ من أجل أي $y$ معرَّف عند $t$ : وهو حلٌّ معرَّف جيدًا، وأعظمي ووحيد بداهةً. و $J$ مفتوح: إذ حلٌّ معرَّف عند طرف كان سيُمدَّد بواسطة المبرهنة 19.2 عند ذلك الطرف.

(2) لنفترض أن الادعاء يخفق عند $T_+$ : فتوجد $t_n \to T_+$ تحقق $(t_n, x(t_n)) \in K$ ؛ ولاحظ أن هذا يفرض $T_+ < \infty$ ، أو، إذا كان $T_+ = \infty$ ، فلا شيء نبرهن عليه ( $K$ محدودة زمنيًّا). فليكن $T_+ < \infty$ . وأما التراص: فالثوابت المنتظمة $M, L, a, b$ تصلح من أجل جميع معطيات كوشي في جوار للمتراصة $K$ — وعمليًّا، نغطي $K$ بعدد منتهٍ من الصناديق $Q_i$ كما في برهان المبرهنة المحلية وليكن $T^* > 0$ أصغرَ أزمنة الوجود الموافقة: فكل معطى كوشي في $K$ يطلق حلًّا يعيش $T^*$ على الأقل بعد زمنه الابتدائي. وبتطبيق ذلك عند $(t_n, x(t_n))$ مع $t_n > T_+ - T^*/2$ يمتدّ $x$ وراء $T_+$ (ويتوافق التمديد مع $x$ بالوحدانية، ثم يمدّده): وهو تناقض مع الأعظمية. ومنه يغادر المنحني البياني $K$ نهائيًّا قبل $T_+$ . ومن أجل $U = \R\times\R^d$ : إذا كان $\norm{x(t)}\not\to\infty$ ، أبقت متتالية $t_n \to T_+$ النقاطَ $(t_n, x(t_n))$ في المتراصة $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : وهو مستبعد. ∎

نتيجة 19.6 (الوجود الشامل تحت النمو الخطي)

إذا كان $U = I\times\R^d$ ( $I$ فترة مفتوحة) و $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ مع $\alpha, \beta$ متصلتين، فإن كل حل أعظمي معرَّف على $I$ كله.

برهان. على متراصة $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ ، ومنه بغرونوال (مع $\alpha, \beta$ محدودتين بالعددين $A, B$ هناك) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : أي محدود. وإذا كان $T_+ < \sup I$ ، بقي المنحني البياني في متراصة من $I\times\R^d$ بجوار $T_+$ : وهو يناقض الهروب (المبرهنة 19.5). ∎

19.3 الجمل الخطية

في هذا المقطع تكون $A \colon I \to M_d(\R)$ و $b \colon I \to \R^d$ متصلتين؛ والجملة هي $x' = A(t)x + b(t)$ — أي نموّ خطي: فجميع الحلول الأعظمية تعيش على $I$ كله (النتيجة 19.6).

مبرهنة 19.7 (البنية)

تشكّل حلول الجملة المتجانسة $x' = A(t)x$ فضاءً متجهيًّا $S_H$ بُعده $d$ ؛ ومن أجل كل $t_0$ ، يكون التقييم $x \mapsto x(t_0)$ تماثلًا $S_H \to \R^d$ . والمُحلِّل $R(t, s) \in GL_d(\R)$ ، المعرَّف بالشرط: أن $t \mapsto R(t, s)v$ هو الحل الذي قيمته $v$ عند $s$ ، يحقق

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

وتُحلّ المسألة غير المتجانسة بواسطة صيغة دوهاميل:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

وأخيرًا يخضع الفرونسكياني $w(t) = \det R(t, s)$ لصيغة ليوفيل $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ ، ومنه $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

برهان. تجعل خطية المعادلة الحلولَ فضاءً متجهيًّا؛ والتقييم خطي، ومتباين (بالوحدانية: إذ حلٌّ ينعدم عند $t_0$ هو $\equiv 0$ )، وغامر (بالوجود): فالبُعد $d$ . وخصائص المُحلِّل تعيد صياغة الوحدانية (إذ يحل طرفا كل متطابقة مسألةَ كوشي نفسها)؛ والقابلية للقلب من $R(s,t)R(t,s) = I$ . وأما دوهاميل: فنشتقّ الصيغة — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (والاشتقاق تحت علامة التكامل مشروع: إذ المقدار المكامَل من الصنف $\mathcal C^1$ في $t$ بمشتقة متصلة في $(t,s)$ ؛ أو نتحقق بالمعادلة التكاملية). وأما ليوفيل: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ و $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (من المعادلة التكاملية)، ومنه $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (بنشر $\det$ عند $I$ ): أي $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ؛ ثم نكامل المعادلة التفاضلية الخطية السلّمية. ∎

مبرهنة 19.8 (الأُسّي المصفوفي)

من أجل $A \in M_d(\C)$ ، تتقارب المتسلسلة $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ (تقاربًا مطلقًا، بأي معيار شبه ضربي)، ويكون $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ كلما كان $AB = BA$ ، ويكون $t \mapsto \eu^{tA}$ مُحلِّل الجملة الثابتة: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ؛ وهو من الصنف $\mathcal C^\infty$ مع $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . وفوق ذلك: إذا كان $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ من أجل كل قيمة ذاتية $\lambda$ للمصفوفة $A$ ، فإن $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ من أجل $t \geq 0$ .

برهان. التقارب: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ ، وهي قابلة للجمع (التمرين 7.1(b) في جبر باناخ $M_d$ ). ومن أجل $A, B$ متبادلتين: يُعاد ترتيب جداء كوشي للمتسلسلتين المتقاربتين تقاربًا مطلقًا، عبر مبرهنة ذات الحدين (الصحيحة حين $AB = BA$ )، إلى $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . وأما القابلية للاشتقاق فمباشرةً: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ لأن $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . ومنه يحل $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ مسألةَ كوشي المعرِّفة للمقدار $R(t,s)v$ . وأما الحدّ الطيفي: فبصيغة جوردان (المبرهنة 3.18)، $A = P(D + N)P^{-1}$ حيث $D$ قطرية تحمل القيم الذاتية، و $N$ معدومة القوة، و $DN = ND$ . عندئذٍ $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ مع $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ من أجل $\delta > 0$ ما (حيث $t \geq 0$ )، ويكون $\eu^{tN}$ كثير حدود في $t$ (بانعدام القوة): فيكون الجداء $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (إذ يغلب $\eu^{-\delta t}$ كثيرَ الحدود). ∎

مثال 19.9 (المستوي، مصنَّفًا)

من أجل $x' = Ax$ مع $A \in M_2(\R)$ قابلة للقلب، تتحدّد صورة الطور بجوار $0$ بالعددين $\tau = \operatorname{tr}A$ و $\delta = \det A$ ، عبر القيمتين الذاتيتين $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : قيمتان ذاتيتان حقيقيتان مختلفتا الإشارة — أي سرج؛ فيدخل مساران ويخرج مساران، وتمرّ البقية مرورًا. وهو غير مستقر دائمًا.
$\delta > 0$ و $\tau^2 \geq 4\delta$ : قيمتان ذاتيتان حقيقيتان بالإشارة نفسها ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — أي عقدة، مستقرة إذا وفقط إذا كان $\tau < 0$ ؛ والمسارات مماسّة للاتجاه الذاتي البطيء.
$\delta > 0$ و $\tau^2 < 4\delta$ و $\tau \neq 0$ : قيمتان ذاتيتان عقديتان مرافقتان $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — أي حلزون (بؤرة)، مستقر إذا وفقط إذا كان $\tau < 0$ ؛ والحلول دورانات $\eu^{\tau t/2}\times$ بالدور $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ و $\delta > 0$ : قيمتان ذاتيتان تخيّليتان محضتان — أي مركز: بمدارات مغلقة (قطوع ناقصة)، واستقرارٌ دون استقرار مقارب، وهو بالضبط الحدّ الفاصل الذي لا تستطيع المبرهنة 19.12 البتّ فيه من أجل الجمل غير الخطية (وهنا يجلس موضع توازن النواس السفلي، المسألة 19.1).

ويحمل القطع المكافئ الحدّي $\tau^2 = 4\delta$ العقدَ المنحلّة (أي كتل جوردان: بمسارات ذات اتجاه مماس واحد). وكل شيء يُقرأ من عددين — ولهذا يكون أول ردّ فعل قبل أي صورة طور مستوية هو حساب $\operatorname{tr}$ و $\det$ ؛ فمثلًا $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (المذبذب المخمَّد): $\delta = 1 > 0$ و $\tau = -c$ : أي حلزون مستقر من أجل $0 < c < 2$ ، وعقدة مستقرة من أجل $c \geq 2$ — أي التخميد الناقص مقابل التخميد الزائد، في لمحة واحدة.

19.4 الانسيابات ومواضع التوازن والاستقرار

ننظر الآن في المعادلة الذاتية $x' = F(x)$ ، حيث $F \colon \Omega \to \R^d$ ليبشيتزية محليًّا على المفتوحة $\Omega \subseteq \R^d$ . ونكتب $\varphi_t(x_0) = x(t)$ للحل الأعظمي الذي يحقق $x(0) = x_0$ (أي انسياب الحقل المتجهي)؛ وتعطي الذاتية خاصية الزمرة $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ حيثما عُرِّفت (إذ يحل الطرفان المسألة نفسها عند الزمن $s$ ).

تعريف 19.10

موضع التوازن نقطةٌ $\bar x$ تحقق $F(\bar x) = 0$ (ومنه $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). ويكون مستقرًّا إذا وُجد من أجل كل $\varepsilon > 0$ عددٌ $\delta > 0$ بحيث يستلزم $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ وجود الحل من أجل كل $t \geq 0$ مع $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ؛ ويكون مستقرًّا مقاربًا إذا كان فوق ذلك $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ من أجل كل $x_0$ بجوار $\bar x$ .

مبرهنة 19.11 (دوال ليابونوف)

ليكن $\bar x$ موضع توازن ولتكن $V \colon \mathcal V \to \R$ دالةً من الصنف $\mathcal C^1$ على جوار للنقطة $\bar x$ تحقق:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ من أجل} x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

عندئذٍ يكون $\bar x$ مستقرًّا. وإذا كان فوق ذلك $\dot V < 0$ خارج $\bar x$ ، كان $\bar x$ مستقرًّا مقاربًا.

برهان. على امتداد حل، $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : أي إن $V$ متناقصة. وبإعطاء $\varepsilon$ (صغير بما يكفي بحيث $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ )، لتكن $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (بالتراص والإيجابية) ونختار $\delta < \varepsilon$ بحيث $V < m$ على $B(\bar x, \delta)$ (بالاتصال). فحلٌّ ينطلق من $B(\bar x, \delta)$ يحقق $V(x(t)) < m$ من أجل كل الأزمنة اللاحقة، ومنه لا يمكنه أن يبلغ الكرة $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (حيث $V \geq m$ ): فيبقى في الكرة — وعندئذٍ يوجد من أجل كل $t \geq 0$ : إذ يبقى الحل في المتراصة $\bar B$ ، ومنه تفرض المبرهنة 19.5(2) (الهروب من المتراصات) أن $T_+ = +\infty$ . وهذا هو الاستقرار.

وأما الحالة المقاربة: فليكن $x(t)$ منطلقًا من $B(\bar x, \delta)$ ؛ تتناقص $V(x(t))$ إلى $c \geq 0$ ما. فإذا كان $c > 0$ : بقي المسار في $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ ، وهي مجموعة متراصة تستبعد جوارًا للنقطة $\bar x$ (إذ $V$ متصلة مع $V(\bar x) = 0 < c$ ). وعلى $K$ تكون الدالة $\dot V$ متصلة وسالبة تمامًا، ومنه $\mu = \max_K\dot V < 0$ (بالتراص)؛ عندئذٍ $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : وهو محال لأن $V \geq 0$ . ومنه $c = 0$ ، و $x(t) \to \bar x$ (إذ للنقاط التي تبعد $\geq \rho$ عن $\bar x$ داخل الكرة $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

مبرهنة 19.12 (الاستقرار بالخطّية)

لتكن $F$ من الصنف $\mathcal C^1$ مع $F(\bar x) = 0$ و $A = DF(\bar x)$ . إذا كان لكل قيمة ذاتية للمصفوفة $A$ الشرطُ $\operatorname{Re}\lambda < 0$ ، فإن $\bar x$ مستقر مقاربًا.

برهان. ننقل $\bar x$ إلى $0$ ونكتب $F(x) = Ax + g(x)$ مع $g(x) = o(\norm x)$ (بالقابلية للاشتقاق من الصنف $\mathcal C^1$ ). ونختار $\alpha > 0$ يحقق $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ (حيث $t \geq 0$ ؛ المبرهنة 19.8) و $r > 0$ يحقق $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ من أجل $\norm x \leq r$ . وبدوهاميل مع $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

وهي صحيحة ما دام $\norm{x(s)} \leq r$ . عندئذٍ يحقق $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

ومنه تعطي غرونوال أن $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ ، أي $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . وإذا كان $\norm{x_0} < r/C$ ، أبقى الحدّ القبلي $\norm{x(t)} < r$ من أجل كل $t$ (بحجة اتصال أو ترقية: إذ مجموعة الأزمنة التي يكون فيها $\norm x \leq r$ مفتوحة ومغلقة في $\intco0{T_+}$ بحكم التقدير الأكيد)، ويكون الحل شاملًا، ويتقارب إلى $0$ أُسّيًّا: أي استقرار مقارب. ∎

طريقة 19.13

حين تواجه معادلة تفاضلية: (1) الوجود والوحدانية — تحقق من الليبشيتزية المحلية (وهي عادةً $\mathcal C^1$ )؛ (2) الشمول — بالنمو الخطي، أو الحدّية، أو متراصة صامدة عبر دالة ليابونوف أو تكامل أول؛ وإن لم يكن، فاشتبه بالانفجار واختبر على الكاريكاتير السلّمي $x' = x^2$ ؛ (3) الجمل الخطية — المُحلِّل، ودوهاميل، وبنيةُ القيم الذاتية للمصفوفة $A$ من أجل المعاملات الثابتة؛ (4) الأسئلة النوعية — مواضع التوازن، والخطّية، وصيدُ دالة ليابونوف (أي الطاقة حين تكون الجملة ميكانيكية) أو تكاملٍ أول تحبس مجموعاتُ مستوياته المسارات. وتمشي مسألة نهاية الأسبوع بالطريقة كلها عبر النواس.

صورة الطور للنواس x'' = - x في المستوي (x, x'): أي المنحنيات المستوية للطاقة E = x'22 - x. والمنحنيات المغلقة (بالأزرق): تذبذبات، E < 1؛ والمنحنيات الجارية (بالبرتقالي): دورات كاملة، E > 1؛ وبينهما الفاصلة (بالأحمر)، E = 1، الواصلة بين موضعَي التوازن غير المستقرين (±π, 0). وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على كل ما توحي به هذه الصورة. — صورة الطور للنواس $x'' = -\sin x$ في المستوي $(x, x')$ : أي المنحنيات المستوية للطاقة $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . والمنحنيات المغلقة (بالأزرق): تذبذبات، $E < 1$ ؛ والمنحنيات الجارية (بالبرتقالي): دورات كاملة، $E > 1$ ؛ وبينهما *الفاصلة* (بالأحمر)، $E = 1$ ، الواصلة بين موضعَي التوازن غير المستقرين $(\pm\pi, 0)$ . وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على كل ما توحي به هذه الصورة.

19.5 تمارين

تمرين 19.1 ★

حُلّ صراحةً وعيّن الفترة الأعظمية: (a) $x' = x^2$ مع $x(0) = 1$ ؛ (b) $x' = 1 + x^2$ مع $x(0) = 0$ ؛ (c) $x' = x(1-x)$ مع $x(0) = \frac12$ . ووفّق بين كل جواب والمبرهنة 19.5(2) والنتيجة 19.6.

حل

حل التمرين 19.1.

(a) بفصل المتغيّرات: $x(t) = \frac1{1 - t}$ على $\intoo{-\infty}1$ : أي انفجار عند $T_+ = 1$ مع $x(t) \to +\infty$ — وهو بالضبط المبرهنة 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ على $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : أي انفجار عند الطرفين. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ ، وهو شامل: إذ يبقى الحل في $\intoo01$ ، وهي مجموعة محدودة، ومنه لا يمكن للمنحني البياني أن يهرب من كل متراصة من $\R\times\R$ في زمن منتهٍ — $T_\pm = \pm\infty$ . ولاحظ أن (a) و(b) لا تناقضان النتيجة 19.6: إذ للمقدارين $x^2$ و $1 + x^2$ نموٌّ فوق خطي.

تمرين 19.2 ★

ليكن $x, y$ حلّين للمعادلة $x' = f(t,x)$ حيث $f$ ليبشيتزية شاملًا بالثابت $L$ في $x$ على $\R\times\R^d$ . (a) برهن على $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ ، وبيّن بمثال (خطي!) أن العامل $\eu^{L\abs t}$ مبلوغ. (b) استنتج أن تطبيق الانسياب $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ متصل، بل ليبشيتزي على المجموعات المحدودة.

حل

حل التمرين 19.2.

(a) هذا هو تقدير النتيجة 19.4 مع $t_0 = 0$ . وأما الضبط: فمن أجل $x' = Lx$ (وهي ليبشيتزية شاملًا بالثابت $L$ )، يختلف حلّان بالمقدار $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ بالضبط. (b) ويُقرأ التقدير: أن تطبيق الانسياب عند الزمن $t$ ليبشيتزي بالثابت $\eu^{L\abs t}$ في الشرط الابتدائي — أي الاتصال، بانتظام من أجل $t$ في المتراصات؛ وعلى المجموعات المحدودة من أجل $f$ غير الليبشيتزية شاملًا، نجري الشيء نفسه على أنبوب متراص حول المسارات بالثابت المحلي.

تمرين 19.3 ★★

برهن على أن لكلٍّ مما يلي حلولًا أعظمية شاملة على $\R$ ، مستشهدًا بالمبرهنة الصحيحة: (a) $x' = \sin(tx)$ ؛ (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ؛ (c) $x'' + q(t)x = 0$ مع $q$ متصلة (بالتحويل إلى جملة من الرتبة الأولى)؛ (d) $x' = A(t)x$ مع $A$ متصلة ومحدودة — وأعطِ حدّ غرونوال للمقدار $\norm{x(t)}$ .

حل

حل التمرين 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : أي محدود، وهو نمو خطي مع $\alpha = 0$ و $\beta = 1$ : النتيجة 19.6 على $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : وهو تحت خطي مرة أخرى (بل محدود على المتراصات الزمنية): فشامل. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : أي خطية بمعاملات متصلة: فشاملة (في إطار المبرهنة 19.7). (d) شامل؛ وغرونوال كما في النتيجة 19.6: $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ مع $M = \sup\vertiii{A}$ .

تمرين 19.4 ★★

(a) احسب $\eu^{tA}$ من أجل $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ ، و $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ ، و $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) حُلّ المذبذب المُقحَم $x'' + x = \cos(\omega t)$ بدوهاميل (بصيغة الجملة)، من أجل $\omega \neq 1$ ومن أجل $\omega = 1$ : فيظهر الرنين بوصفه الحدّ الدنيوي $t\sin t$ .

حل

حل التمرين 19.4.

(a) $A^2 = -I$ من أجل الأولى: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . وكتلة جوردان: إذ تتبادل $\lambda I$ و $N$ : $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . والثالثة: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) الجملة $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ؛ ويعطي دوهاميل مع مُحلِّل الدوران الحلولَ الخاصة: فمن أجل $\omega \neq 1$ ، $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (تحقق مباشرةً)؛ ومن أجل $\omega = 1$ ينتج التكامل $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ النموَّ الدنيوي $x_p = \frac t2\sin t$ : أي الرنين — إذ يضخّ الإقحام الطاقة عند التردد الطبيعي فتنمو السعة خطيًّا.

تمرين 19.5 ★★

من أجل المعادلة السلّمية $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) برهن على أن الفرونسكياني $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ لحلّين يحقق $w' = -p\,w$ (أبيل)، واستنتج أن حلّين يكون $w \neq 0$ من أجلهما في موضع ما يشكّلان أساسًا. (b) وبإعطاء حل واحد غير منعدم $x_1$ ، جد الحل العام بتخفيض الرتبة: ضع $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ وتحقق. وطبّق ذلك على $t^2x'' - 2x = 0$ على $\intoo0{+\infty}$ مع $x_1(t) = t^2$ .

حل

حل التمرين 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ ، وهو لا ينعدم أبدًا ولا ينعدم انعدامًا تامًّا. وإذا كان $w \neq 0$ ، كانت المتجهتان $(x_i, x_i')(t_0)$ مستقلتين في $\R^2$ ، وبما أن فضاء الحلول ذو البُعد $2$ (المبرهنة 19.7 من أجل الجملة)، تكون $(x_1, x_2)$ أساسًا.

(b) مع $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ ، و $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ ، و

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(إذ تتلاشى الحدود المتقاطعة بالضبط؛ فانشر بعناية). ومن أجل $t^2x'' - 2x = 0$ ، أي $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ (حيث $p = 0$ ) مع $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ ، ومنه $x_2 = -\frac1{3t}$ : فالحل العام $at^2 + \frac bt$ .

تمرين 19.6 ★★

(اللوجستية) من أجل $x' = x(1 - x)$ : عيّن جميع مواضع التوازن واستقرارها (بواسطة المبرهنة 19.12 ومباشرةً)؛ وبرهن على أن كل حل يحقق $x(0) \in \intoo01$ متزايدٌ وشامل، بنهايتين $0$ و $1$ عند $\mp\infty$ ؛ وحُلّ صراحةً للتأكيد. وبرهن عمومًا على أن الحلول الذاتية السلّمية رتيبة، واخلص: أنه لا حلول دورية غير ثابتة في البُعد $1$ .

حل

حل التمرين 19.6.

مواضع التوازن $0, 1$ ؛ و $f'(x) = 1 - 2x$ : فإن $f'(0) = 1 > 0$ (غير مستقر — إذ تبتعد الحلول المجاورة، كما تبيّن الصيغة الصريحة)، و $f'(1) = -1 < 0$ : أي مستقر مقاربًا (المبرهنة 19.12 في البُعد $1$ ). ومن أجل $x(0) \in \intoo01$ : يكون $f > 0$ هناك، ومنه يتزايد الحل ما دام في $\intoo01$ ؛ ولا يمكنه أبدًا أن يبلغ $0$ أو $1$ (بالوحدانية: إذ هما مساران)، ومنه يبقى، ويكون محدودًا — ومن ثَمّ شاملًا — ويتزايد إلى نهاية $L \in \intoc{x(0)}1$ . فإذا كان $f(L) \neq 0$ ، كان $x' \geq c > 0$ بجوار النهاية، فيدفع $x$ وراء $L$ : ومنه $f(L) = 0$ ، أي $L = 1$ ؛ وبالتناظر $x \to 0$ عند $-\infty$ . ويؤكد الحل الصريح $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ كلَّ ذلك. وعمومًا: لو كان لحلٍّ ذاتي سلّمي $x'(t_0) = 0$ ، لكان $x(t_0)$ موضعَ توازن ولجعلت الوحدانية $x$ ثابتة؛ وإلا احتفظ $f(x(t))$ بإشارة ثابتة (إذ لا ينعدم أبدًا، و $t \mapsto f(x(t))$ متصلة): فتكون $x$ رتيبة تمامًا — ومنه يستحيل وجود حل دوري غير ثابت.

تمرين 19.7 ★★

(التكاملات الأولى) لتكن $H \colon \Omega \to \R$ من الصنف $\mathcal C^1$ ولننظر في الجملة الهاملتونية المستوية $x' = \partial_yH$ ، $y' = -\partial_xH$ . (a) برهن على أن $H$ ثابتة على امتداد الحلول. (b) ومن أجل $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : برهن على أن جميع الحلول شاملة ومحدودة، وعلى أن المبدأ مستقر (بليابونوف: $H$ ) رغم أن الخطّية ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) ليست مستقرة مقاربًا: فالخطّية قد تكون غير حاسمة.

حل

حل التمرين 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) مجموعات المستويات للمقدار $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ متراصة (إذ $H$ قسرية)، ومنه تُحبس الحلول في متراصات: فهي شاملة ومحدودة (المبرهنة 19.5). وأما استقرار $(0,0)$ : فإن $V = H$ معيَّنة موجبةً (إذ $H = 0$ عند المبدأ وحده) مع $\dot V = 0$ : المبرهنة 19.11. والخطّية $x' = y$ و $y' = 0$ لها المصفوفة المعدومة القوة غير القابلة للقُطرنة بقيمة ذاتية $0$ : فتصمت المبرهنة 19.12 (إذ تخفق فرضيتها $\operatorname{Re}\lambda < 0$ )، وبالفعل تكون الجملة المخطَّطة غير مستقرة (إذ ينجرف $y_0 \ne 0$ ) بينما تكون غير الخطية مستقرة: فالخطّية عند موضع توازن غير زائدي لا تبرهن على شيء.

تمرين 19.8 ★★★

(النواس المخمَّد) $x'' + cx' + \sin x = 0$ مع $c > 0$ ؛ وبصيغة الجملة: $x' = y$ و $y' = -\sin x - cy$ . (a) برهن على أن $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ يحقق $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : أي إن المبدأ مستقر. (b) وينعدم $\dot V$ على المحور $y = 0$ كله: فيخفق محك ليابونوف الأكيد. برهن على الاستقرار المقارب رغم ذلك، بالخطّية (المبرهنة 19.12): احسب القيم الذاتية للمصفوفة المخطَّطة عند $(0,0)$ وتحقق من $\operatorname{Re} < 0$ من أجل كل $c > 0$ . (c) وماذا يحدث عند موضع التوازن $(\pi, 0)$ ؟ احسب الخطّية واخلص (إذ قيمة ذاتية واحدة موجبة: أي عدم استقرار — ولك أن تستعمل عبارة عدم الاستقرار بصورة غير رسمية أو تنتج حلًّا هاربًا صريحًا للجملة الخطية).

حل

حل التمرين 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ ، و $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ معيَّنة موجبةً على $\{\abs x < 2\pi\}$ حول المبدأ: أي مستقر (المبرهنة 19.11). (b) المصفوفة المخطَّطة عند $(0,0)$ هي $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ ، وكثير حدودها المميِّز $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : بجذرين $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — وكلاهما حقيقي سالب إذا كان $c \geq 2$ ، وعقديان بجزء حقيقي $-\frac c2 < 0$ إذا كان $0 < c < 2$ . وفي جميع الحالات $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : فتعطي المبرهنة 19.12 الاستقرار المقارب (رغم انحلال $\dot V$ ). (c) وعند $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ ، والخطّية $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ ، والمميِّز $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : بجذرين مختلفَي الإشارة ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). وعلى امتداد المتجهة الذاتية غير المستقرة، للجملة الخطية الحلُّ الهارب صراحةً $\eu^{\lambda_+t}v_+$ مع $\lambda_+ > 0$ : فالنواس المقلوب غير مستقر من أجل كل تخميد.

تمرين 19.9 ★★

(حدود الوحدانية) من أجل $\alpha \in \intoo01$ ، برهن على أن للمسألة $x' = \abs x^{\alpha}$ مع $x(0) = 0$ عددًا لانهائيًّا من الحلول (بتكييف المسألة 7.1، الجزء الثالث). وبرهن بالعكس على أنه من أجل $\alpha = 1$ (أي $x' = \abs x$ ) يكون الحل المارّ بالنقطة $0$ وحيدًا، وعيّن بالضبط أي فرضية من المبرهنة 19.2 تميّز بين الحالتين.

حل

حل التمرين 19.9.

من أجل $\alpha \in \intoo01$ : إضافةً إلى $x \equiv 0$ ، تكون كل

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

من الصنف $\mathcal C^1$ وتحل المعادلة (إذ يجعل الأُسّ $\frac1{1-\alpha} > 1$ المشتقةَ منعدمة عند $c$ ): أي متصلٌ من الحلول المارّة بالنقطة $(0,0)$ . ومن أجل $\alpha = 1$ : تكون $x \mapsto \abs x$ ليبشيتزية شاملًا بالثابت $1$ ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ )، ومنه تنطبق المبرهنة 19.2 ويكون الحل الوحيد المارّ بالنقطة $0$ هو $x \equiv 0$ . والحدّ الفاصل هو بالضبط شرط الليبشيتزية المحلية عند $0$ : إذ لنسب فروق $\abs x^\alpha$ هناك عدمُ حدّية من أجل $\alpha < 1$ .

تمرين 19.10 ★★★

(الحدود القبلية تحبس الحلول) لتكن $F \colon \R^d \to \R^d$ ليبشيتزية محليًّا مع $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ كلما كان $\norm x \geq R$ . (a) برهن على أن الكرة المغلقة $\bar B(0, R)$ صامدة إيجابيًّا: أي إن الحلول التي تنطلق من الداخل تبقى فيه من أجل $t \geq 0$ . (إذا كان $\norm{x(t_2)} > R$ ، فانظر في آخر زمن $t_1 < t_2$ يحقق $\norm{x(t_1)} = R$ وادرس $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ على $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) استنتج الوجود الأمامي الشامل من أجل المعطيات في الكرة. ثم عالج الجملة التدرّجية $x' = -\nabla G(x)$ ، $G \in \mathcal C^2$ مع $G(x) \to +\infty$ حين $\norm x \to \infty$ : برهن على أن $G$ متناقصة على امتداد الحلول، وعلى أن كل حل يبقى في مجموعة المستوى الأدنى (المحدودة) $\{G \leq G(x_0)\}$ ، واخلص إلى الوجود الأمامي الشامل.

حل

حل التمرين 19.10.

(a) لنفترض أن $\norm{x(t_2)} > R$ من أجل $t_2 > 0$ ما مع $\norm{x(0)} \leq R$ ، ولتكن $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : عندئذٍ $\norm{x(t_1)} = R$ و $\norm{x(t)} > R$ على $\intoc{t_1}{t_2}$ . وعلى تلك الفترة يحقق $g(t) = \norm{x(t)}^2$ أن $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (إذ تنطبق الفرضية: $\norm{x(t)} \geq R$ )، ومنه $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : وهو تناقض. فالكرة صامدة إيجابيًّا. (b) ولا يمكن لحلٍّ محبوس في الكرة المتراصة أن يحقق $T_+ < \infty$ (المبرهنة 19.5(2)): أي شامل أماميًّا. وأما الجملة التدرّجية: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : فتتناقص $G$ ، ومنه يبقى الحل في $\{G \leq G(x_0)\}$ ، وهي محدودة (بالقسرية: إذ خارج كرة كبيرة يكون $G > G(x_0)$ ) ومغلقة: أي متراصة. فالهروب مستحيل: أي إن كل حل لجملة تدرّجية قسرية شامل أماميًّا، منزلقًا إلى أسفل إلى الأبد.

تمرين 19.11 ★★

(الانفجار بالمقارنة) لننظر في $x' = x^2 + t^2$ مع $x(0) = 1$ . (a) برهن على أن الحل الأعظمي موجود على $\intco0{T_+}$ ما مع $T_+ < \infty$ : بالمقارنة مع $y' = y^2$ و $y(0) = 1$ (وبرهن على المبرهنة المساعدة للمقارنة التي تحتاجها: أنه إذا كان $x' \geq F(x)$ وكان $y' = F(y)$ مع $x(0) \geq y(0)$ ، فإن $x \geq y$ حيثما يعيش كلاهما)، واستنتج $T_+ \leq 1$ . (b) وحُدّ $T_+$ من الأسفل: فعلى $\intcc01$ ، $x' \leq x^2 + 1$ ؛ وقارن مع الحل الأعلى $z' = z^2 + 1$ مع $z(0) = 1$ ، المحلول بواسطة $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ ، واخلص إلى $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) اجمع $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ وصُغ العبرة: أن النمو الفوق خطي للطرف الأيمن هو ما يقتل الوجود الشامل (التمرين 19.3 بوصفه النقيض)، والحدّ الفاصل هو تقارب $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ .

حل

حل التمرين 19.11.

(a) المبرهنة المساعدة للمقارنة: لتكن $w = x - y$ على الفترة المشتركة؛ فإن $w(0) \geq 0$ و $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ مع $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ محدودة على الفترات الزمنية المتراصة (لأن $F$ ليبشيتزية محليًّا)؛ عندئذٍ $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ ، ومنه $w \geq 0$ في كل مكان. ومع $F(x) = x^2$ : ينفجر $y(t) = \frac1{1 - t}$ عند $1$ ، و $x \geq y$ ما دام $x$ حيًّا؛ فإذا كان $T_+ > 1$ ، لكان $x$ منتهيًا عند $t = 1$ بينما يهيمن على $y \to \infty$ : وهو محال. ومنه $T_+ \leq 1$ .

(b) والمقارنة المعكوسة (بالمبرهنة نفسها، بتبادل الدورين): على $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ ، يعطي $t^2 \leq 1$ أن $x' \leq x^2 + 1$ ، بينما يحقق $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ أن $z' = z^2 + 1$ و $z(0) = 1 = x(0)$ : ومنه $x \leq z$ ما دام كلاهما معرَّفًا. وبما أن $z$ منتهٍ على $\intco0{\frac\pi4}$ ، لا يمكن للحل $x$ أن ينفجر قبل $\frac\pi4$ : أي $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) ومعًا: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (وعدديًّا $T_+ \approx 0.96$ ). والعبرة: أنه من أجل $x' = F(t, x)$ مع $F$ فوق خطية في $x$ ، تنفجر الحلول في زمن منتهٍ كلما كان $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (إذ يبلغ حل المقارنة اللانهاية في ذلك الزمن المنتهي)؛ وأما النمو الخطي، حيث يتباعد التكامل، فيفرض الوجودَ الشامل (التمرين 19.3). وهو تكامل أوسغود نفسه كما في المسألة 7.1، لكنه يحكم الآن الهروبَ إلى اللانهاية بدل الهروب من الصفر.

تمرين 19.12 ★★★

(مبرهنة شتورم في المقارنة) ليكن $q_1 \leq q_2$ متصلتين على فترة $I$ ، ولتكن $u \neq 0$ حلًّا للمعادلة $u'' + q_1u = 0$ ، ولتكن $v \neq 0$ حلًّا للمعادلة $v'' + q_2v = 0$ . (a) أثبت متطابقة الفرونسكياني: أنه مع $W = uv' - u'v$ ، $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (شتورم) برهن على أنه بين جذرين متتاليين $a < b$ للدالة $u$ ، إما أن تنعدم $v$ في موضع ما من $\intoo ab$ ، وإما أن يكون $q_1 = q_2$ و $v \propto u$ هناك (افترض $u > 0$ على $\intoo ab$ و $v > 0$ أيضًا؛ وكامل (a) من $a$ إلى $b$ وافحص إشارتَي الحدّين الحدّيين $W(a), W(b)$ ). (c) استنتج: أن حلول $u'' + qu = 0$ مع $q \geq m > 0$ تنعدم مرة واحدة على الأقل في كل فترة طولها $\pi/\sqrt m$ (بالمقارنة مع $v'' + mv = 0$ )؛ وأن الحلول مع $q \leq 0$ تنعدم مرة واحدة على الأكثر على $\R$ . واختبر كليهما على $q \equiv \pm1$ .

حل

حل التمرين 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) ليكن $a < b$ جذرين متتاليين للدالة $u$ ؛ ونعيِّر بحيث $u > 0$ على $\intoo ab$ (ومنه $u'(a) > 0$ و $u'(b) < 0$ — وهما غير معدومين بالوحدانية، إذ كان $u(a) = u'(a) = 0$ سيفرض $u \equiv 0$ ). ولنفترض أن $v$ لا تقبل أي جذر في $\intoo ab$ ؛ ونعيِّر $v > 0$ هناك (ومنه $v(a), v(b) \geq 0$ بالاتصال). ونكامل (a):

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

لكن $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ و $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : ومنه $W(b) - W(a) \geq 0$ . والتساوي في كل المراحل: فإن $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ مع $uv > 0$ على الفترة المفتوحة يفرض $q_1 = q_2$ هناك؛ ويفرض $W(a) = W(b) = 0$ أن $v(a) = v(b) = 0$ ؛ عندئذٍ $W \equiv 0$ على $\intcc ab$ (لأن مشتقته منعدمة)، أي $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ على $\intoo ab$ : أي $v \propto u$ .

(c) نأخذ $q_1 = m$ و $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ ، وجذوره المتتالية تتباعد بمقدار $\pi/\sqrt m$ ، و $q_2 = q \geq m$ : فحسب (b) تنعدم كل حل $v$ للمعادلة $v'' + qv = 0$ في كل فترة مفتوحة طولها $\pi/\sqrt m$ (وفي البديل المنحلّ $q \equiv m$ ، تنعدم $v \propto u$ أيضًا). وإذا كان $q \leq 0$ بدلًا من ذلك: طبّقنا (b) مع $q_1 = q$ و $u = v$ ، ومع $q_2 = 0$ والحل العديم الجذور $\mathbf 1$ للمعادلة $v'' = 0$ . فلو قبلت $v$ جذرين متتاليين، لفرضت (b) إما جذرًا للمقدار $\mathbf 1$ بينهما وإما الحالة المنحلّة $\mathbf 1 \propto v$ — وكلاهما محال: ومنه تنعدم $v$ مرة واحدة على الأكثر. والفحوص: من أجل $q = 1$ ، ينعدم $\sin t$ كل $\pi = \pi/\sqrt1$ ، كما تنبّأنا؛ ومن أجل $q = -1$ ، ينعدم $\sinh t$ مرة واحدة بالضبط ولا ينعدم $\eu^t$ أبدًا — أي جذر واحد على الأكثر، كما تنبّأنا.

19.6 مسألة: النواس، محلولًا تمامًا

مسألة 19.1

مسألة نهاية الأسبوع — التذبذبات والدورانات والفاصلة والدور

معادلة النواس $x'' = -\sin x$ — وبصيغة الجملة: $x' = y$ ، $y' = -\sin x$ على $\R^2$ — هي ذبابة الفاكهة في الديناميكا: سهلة الكتابة، مستحيلة الحل بالصيغ الابتدائية، ومع ذلك مفهومة تمامًا بالطريقة النوعية. ولتكن $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (أي الطاقة).

الجزء الأول — البنية الشاملة.

برهن على أن جميع الحلول الأعظمية شاملة (معرَّفة على $\R$ ): باستعمال $\dot E = 0$ والمبرهنة 19.5. ومواضع التوازن: $(k\pi, 0)$ ؛ صنّف خطّياتها (من نمط المركز من أجل $k$ زوجي، ومن نمط السرج من أجل $k$ فردي).
برهن على أن المسارات محتواة في مجموعات المستويات $\{E = E_0\}$ ، وارسم أو صف هذه المسارات حسب قيمة $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (مواضع التوازن)، و $-1 < E_0 < 1$ (منحنيات مغلقة حول $(2k\pi, 0)$ )، و $E_0 = 1$ (الفاصلة المارّة بالنقطتين $(\pm\pi, 0)$ )، و $E_0 > 1$ (منحنيات بيانية فوق $x$ : أي دورانات).
برهن على أن موضع التوازن السفلي $(0,0)$ مستقر لكنه ليس مستقرًّا مقاربًا. (بليابونوف مع $V = E + 1$ ؛ وعدم الاستقرار المقارب: إذ يحبس حفظُ الطاقة المداراتِ على منحنيات مستوية بعيدة عن المبدأ.)

الجزء الثاني — التذبذبات ودورها. نثبّت $-1 < E_0 < 1$ ونكتب $E_0 = -\cos a$ مع $a \in \intoo0\pi$ (أي السعة).

برهن على أن الحل الذي يحقق $x(0) = a$ و $y(0) = 0$ يتذبذب: $x(t) \in \intcc{-a}a$ ، ويكون المدار المنحني المغلق $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . وبرّر أن الحل دوري: فالمدار منحنٍ متراص بلا مواضع توازن، ويُجرى بسرعة محدودة من الأسفل — اجعل هذا حجةً (إذ يعود الحل إلى نقطته الابتدائية في زمن منتهٍ، ثم تفرض الوحدانية الدورية).
أثبت صيغة الدور

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(على ربع مدار، $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ ثم افصل المتغيّرات؛ وبرّر التقارب المعتلّ عند $x = a$ ).
(التذبذبات الصغيرة) عوّض $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ وبرهن على

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(وهو تكامل إهليلجي تام). واستنتج بالتقارب المهيمن أن $T(a) \to 2\pi$ حين $a \to 0^+$ : أي النهاية التوافقية، المستقلة عن السعة — أي تساوي الأزمنة التقريبي عند غاليليو، مع تصحيحه المضبوط $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (بنشر المقدار المكامَل والمكاملة حدًّا حدًّا، مبرّرًا ذلك بالتقارب الناظمي).
برهن على $T(a) \to +\infty$ حين $a \to \pi^-$ (بحدّ المقدار المكامَل من الأسفل بجوار $\varphi = \frac\pi2$ حين $k \to 1$ ، أو بتطبيق التقارب الرتيب): فباقتراب النواس من الفاصلة، يتباطأ دون حدّ.

الجزء الثالث — الفاصلة.

من أجل $E_0 = 1$ ، $y = 2\cos\frac x2$ على الفرع العلوي: افصل المتغيّرات وكامل لتجد الحل الصريح

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

(مع $x(0) = 0$ و $y(0) = 2$ ). وتحقق مباشرةً من أنه يحل معادلة النواس، واحسب نهاياته ونهايات $y(t)$ حين $t \to \pm\infty$ .
اخلص: أن مدار الفاصلة يصل بين السرج $(-\pi, 0)$ (حين $t \to -\infty$ ) والسرج $(\pi, 0)$ (حين $t \to +\infty$ ) لكنه لا يبلغ أيًّا منهما في زمن منتهٍ — وهو متسق مع الوحدانية (ولماذا كان بلوغُ سرجٍ في زمن منتهٍ سيناقض النتيجة 19.4؟).

الجزء الرابع — الدورانات، والصورة الكاملة.

من أجل $E_0 > 1$ : برهن على أن $y$ لا ينعدم أبدًا، وأن $x$ رتيبة تمامًا وشاملة مع $x(t) \to \pm\infty$ ، وأن $t \mapsto y(t)$ دورية بالدور

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
ركّب صورة الطور الكاملة (أي شكل الفصل) مع تبرير كامل لكل سمة، واكتب ملخصًا من عشرة أسطر للطريقة: الطاقة، ومجموعات المستويات، والتراص، والوحدانية — وكيف دخلت كل مبرهنة من مبرهنات الفصل. وأين احتجنا يومًا إلى صيغة للحل العام؟

الجزء الخامس — دالة الدور تحت المجهر.

برهن على عزوم واليس

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

بالتراجع (بالمكاملة بالتجزئة)، وانشر المقدار المكامَل في السؤال 6 بمتسلسلة ذات الحدين، وبرّر المكاملة حدًّا حدًّا لتحصل على المتسلسلة الكاملة

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$
حوّل إلى السعة:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(بتعويض نشر $\sin\frac a2$ والتجميع). فيخفق تساوي الأزمنة من الرتبة $a^2$ ، وقد صار الإخفاق الآن مكمَّمًا حتى الرتبة $a^4$ .
برهن على أن $a \mapsto T(a)$ متصلة ومتزايدة تمامًا على $\intoo0\pi$ ، واخلص مع السؤالين 6 و7 إلى أن $T$ تقابل من $\intoo0\pi$ على $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : أي إن كل دور فوق حرج تحققه سعةٌ واحدة بالضبط.
(حساب صانع الساعات) نواسٌ مضبوط عند سعة متلاشية يحفظ الزمن المثالي؛ برهن على أنه إذا شُغّل عند السعة $a$ تأخّر بالكسر $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ من الزمن المثالي، واحسب الانحراف من أجل $a = 0.2$ راديان: نحو $216$ ثانية في اليوم. (وخدّا هويغنس الدويريان والسعات الثابتة الصغيرة في الميزانات جوابان على هذا العدد.)
عُد إلى دور الدوران $\tau$ في السؤال 10: برهن على أن $\tau$ متناقص تمامًا على $\intoo1{+\infty}$ ، وأن $\tau(E_0) \to +\infty$ حين $E_0 \to 1^+$ (بالتقارب الرتيب)، وأن $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ حين $E_0 \to +\infty$ (بالتقارب المهيمن): أي إن الدوران السريع هو مقاربًا دورانٌ حر بالسرعة الزاوية $\sqrt{2E_0}$ .

الجزء السادس — الطريقة مصدَّرةً: لوتكا–فولتيرا. وصفة النواس — تكاملٌ أول، ومنحنيات مستوية متراصة، ووحدانية — تحل نظامًا بيئيًّا. نثبّت $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ وننظر، على الربع المفتوح $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ ، في

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

(حيث $x$ الفريسة و $y$ المفترسات).

برهن على أن $Q$ صامدة — إذ المحوران اتحادان لمدارات قابلة للحساب صراحةً، لا يمكن لأي حل أن يعبرها (النتيجة 19.4) — وعلى أن موضع التوازن الوحيد في $Q$ هو $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
برهن على أن

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

تكاملٌ أول، وعلى أن $H = f(x) + g(y)$ مع $f, g$ محدّبتين تمامًا وسويّتين على $\intoo0{+\infty}$ بأصغريتين عند $x_*$ و $y_*$ ، واستنتج أن جميع الحلول الأعظمية في $Q$ شاملة.
برهن على أنه من أجل $h > h_* = H(x_*, y_*)$ تكون مجموعة المستوى $\{H = h\}\cap Q$ منحنيًا مغلقًا حول موضع التوازن: أي فرعان متصلان $y_\pm(x)$ فوق فترة متراصة $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ ، ملتحمان عند الطرفين — وهو نظير بيضاويات النواس.
برهن على أن كل مدار غير توازني في $Q$ دوري: أثبت الدوران عكس عقارب الساعة عبر المناطق الأربع التي يقطعها المستقيمان $x = x_*$ و $y = y_*$ ، وحُدّ زمن عبور كل قوس بتكامل ذي شذوذ جذري تربيعي متقارب (كما في السؤال 5)، ثم أغلق بالوحدانية (كما في السؤال 4).
(قانون فولتيرا في المتوسطات) إذا كان $T$ دورَ مدار كهذا، برهن على أن

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

أي إن المتوسطات الزمنية تساوي قيم التوازن، مهما كانت السعة (بمكاملة $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ على دور واحد).
(مفارقة الصيد) اصطد النوعين بالمعدل $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : فتحتفظ الجملة بشكلها مع $\alpha - \varepsilon$ و $\gamma + \varepsilon$ بدل $\alpha$ و $\gamma$ . فماذا يحدث لمتوسطَي التعداد؟ واشرح ملاحظة دانكونا (1914–1918): أنه لما تناقص الصيد في الأدرياتيك أثناء الحرب، ازدادت نسبة المفترسات (أسماك القرش) في المصيد — ولماذا يفضّل الصيدُ المعتدل الفريسةَ.
اكتب العبرة في عشرة أسطر: أي مبرهنات الفصل تشغّل كل خطوة، وما الذي يحلّ محل طاقة النواس، ولماذا لم تحتج أي من الجملتين — ولا تقبل — حلًّا ابتدائيًّا بصيغة مغلقة.
(تضمين السرعة) في نظام الدوران $E_0 > 1$ ، برهن على أن $y = x'$ يتذبذب بين $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (عند $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) و $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (عند $x \equiv 0$ )، وعلى أن المتوسط الزمني للمقدار $y$ على دور واحد يساوي $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ بالضبط، وعلى أن نسبة التضمين $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ حين $E_0 \to \infty$ : أي إن الدوران السريع منتظمٌ مقاربًا.
(رتابة دور الدوران) برهن على أن $\tau(E_0)$ من الصنف $\mathcal C^1$ ومتناقص تمامًا على $\intoo1{+\infty}$ (بالاشتقاق تحت علامة التكامل، مع الهيمنة على كل $\intco{1 + \delta}\infty$ )، مع $\tau \to \infty$ حين $E_0 \to 1^+$ و $\tau \to 0$ حين $E_0 \to \infty$ . وركّب صورة التشعّب الكاملة للنواس على امتداد محور الطاقة: مواضع التوازن عند $E_0 = -1$ ، والتأرجحات بدور يتزايد من $2\pi$ إلى $\infty$ على $-1 < E_0 < 1$ ، والفاصلة عند $E_0 = 1$ ، والدورانات بدور يتناقص من $\infty$ إلى $0$ بعدها.

حل

حل المسألة 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : أي إن الطاقة تكامل أول. وعلى حل أعظمي، $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : فيكون $y$ محدودًا؛ عندئذٍ ينمو $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ خطيًّا على الأكثر: فعلى أي فترة زمنية منتهية يبقى المسار في متراصة من $\R^2$ ، ومنه تفرض المبرهنة 19.5(2) أن $T_\pm = \pm\infty$ . ومواضع التوازن $(k\pi, 0)$ ؛ والخطّية $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ مع $-\cos(k\pi) = \mp1$ : بقيمتين ذاتيتين $\pm\iu$ من أجل $k$ زوجي (من نمط المركز، وهو غير حاسم بذاته) و $\pm1$ من أجل $k$ فردي (سرج).

2. ثبات $E$ على امتداد الحلول يحصر كل مسار في مجموعة مستوى $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . فمن أجل $E_0 = -1$ : النقاط $(2k\pi, 0)$ وحدها. ومن أجل $-1 < E_0 < 1$ : بكتابة $E_0 = -\cos a$ ، تكون المجموعة اتحادًا منفصلًا لمنحنيات مغلقة $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ فوق $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ ، واحدٍ حول كل موضع توازن مستقر. ومن أجل $E_0 = 1$ : المنحنيات $y = \pm2\cos\frac x2$ الواصلة بين السروج المتتالية — أي الفاصلة — مع السروج نفسها. ومن أجل $E_0 > 1$ : منحنيان بيانيان $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ ، معرَّفان من أجل كل $x$ ، ولا يمسّان $y = 0$ أبدًا.

3. ينعدم $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ عند $(0,0)$ ، وهو موجب على جوار مثقوب (حيث $\abs x < 2\pi$ )، و $\dot V = 0 \leq 0$ : فتعطي المبرهنة 19.11 الاستقرار. وليس مقاربًا: إذ يبقى الحل المارّ بالنقطة $(a, 0)$ (حيث $0 < a$ صغير) على المنحني المستوي $E = -\cos a$ ، ومسافته إلى المبدأ موجبة (إذ لا يلاقي المنحني محور السينات إلا عند $\pm a$ ): أي $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. على المنحني المستوي $C_a$ : لا مواضع توازن (إذ $y = 0$ يفرض $x = \pm a$ مع $\sin(\pm a) \neq 0$ من أجل $0 < a < \pi$ )، ومنه للسرعة $\norm{(y, -\sin x)}$ أصغريةٌ موجبة $m$ على المتراصة $C_a$ . ونتتبّع الحل من $(a, 0)$ : ففي نصف المستوي السفلي $x' = y < 0$ ، ومنه يتناقص $x$ من $a$ إلى $-a$ في زمن منتهٍ (إذ تتقارب تكاملات ربع الدور ونصفه: بتحليل السؤال 5)، فيبلغ $(-a, 0)$ ؛ وبالتماثل $(x, y) \mapsto (x, -y)$ ، $t \mapsto -t$ للمعادلة، يُجرى النصف العلوي رجوعًا في الزمن نفسه $\frac T2$ : فيرجع الحل إلى $(a, 0)$ عند الزمن $T$ . ثم تنتشر الوحدانية (النتيجة 19.4): أي $x(t + T) = x(t)$ من أجل كل $t$ : فهو دوري.

5. على الفرع الذي يكون فيه $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ و $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ؛ وبمكاملة $x$ من $-a$ إلى $a$ نجد نصف الدور، ويناصف التماثل $x \mapsto -x$ التكاملَ مرة أخرى:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

وأما التقارب عند $x = a^-$ : فإن $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ مع $\sin a > 0$ : ومنه يسلك المقدار المكامَل مثل $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ ، وهو قابل للمكاملة.

6. مع $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ و $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ و $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ ، ومنه

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

وحين $a \to 0^+$ يكون $k \to 0$ : فمن أجل $k \leq k_0 < 1$ يُهيمَن على المقدار المكامَل بالمقدار $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ ، وهو متصل على $\intcc0{\pi/2}$ : فيعطي التقارب المهيمن $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . وبنشر $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ مع $u = k^2\sin^2\varphi$ (بتقارب ناظمي من أجل $k < 1$ ) ومع $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

فلا يصح تساوي الأزمنة إلا من الرتبة الأولى؛ ويتزايد الدور مع السعة.

7. حين $k \uparrow 1$ تتزايد المقادير المكامَلة إلى $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ ، وتكامله متباعد: فبالتقارب الرتيب، $T(a) \to +\infty$ حين $a \to \pi^-$ .

8. على الفرع $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ؛ ومع $u = \frac x2$ و $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ ، يكون $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ ، أي

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

وأما التحقق بالطاقة: فمع $\theta = \arctan\eu^t$ ، $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ ، ومنه $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ و $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : فيقع المسار على الفاصلة، ويعيد اشتقاق $y^2 = 2(1 + \cos x)$ حيث $y > 0$ إنتاجَ $y' = -\sin x$ . والنهايات: $x \to \pm\pi$ و $y \to 0$ حين $t \to \pm\infty$ .

9. يؤول المدار إلى السرج $(\pi, 0)$ أمامًا وإلى $(-\pi, 0)$ خلفًا لكنه لا يصل أبدًا: فلو بلغ $(\pi, 0)$ عند زمن منتهٍ $t^*$ ، لمرّ حلّان أعظميان متمايزان — حل الفاصلة والحل الثابت عند السرج — بالنقطة نفسها $(t^*, (\pi, 0))$ ، وهو يناقض النتيجة 19.4. فلا تُقارَب السروج إلا مقاربًا.

10. من أجل $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : فيحتفظ $y$ بإشارته، و $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : فتكون $x$ رتيبة تمامًا وشاملة (السؤال 1) مع $x(t) \to \pm\infty$ . وبما أن $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ و $\cos$ دورية بالدور $2\pi$ ، يرجع $y$ إلى قيمته كلما تقدّم $x$ بمقدار $2\pi$ ؛ والزمن اللازم هو

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(بالتعويض؛ وبالدورية): فيكون $y$ دوريًّا بالدور $\tau$ — أي إن النواس يدور بمعدل دوران ثابت مقاربًا $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ من أجل الطاقات الكبيرة.

11. الطريقة، بالترتيب: الطاقة ( $\dot E = 0$ ) تختزل الانسياب ذا البُعدين إلى منحنيات مستوية ذات بُعد واحد؛ وحدّية $y$ على كل مستوى مع الهروب من المتراصات تعطي الوجود الشامل؛ وتراص المستويات المغلقة يعطي حدود السرعة ومن ثَمّ الدورية؛ والوحدانية تحوّل العودة الأولى إلى دورية مضبوطة، وتمنع الوصول إلى السروج في زمن منتهٍ، وتفصل أنماط المدارات؛ والخطّية وليابونوف تصنّفان مواضع التوازن؛ وتكامل الدور يُحلَّل بمبرهنات التقارب في الفصل 10. ولم نمتلك في أي لحظة — ولم نحتج — إلى حل عام بصيغة مغلقة: إذ استخرجت النظرية النوعية كل سمة من سمات الحركة من المعادلة نفسها.

12. بالتجزئة: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ ، ومنه $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ؛ ومع $W_0 = \frac\pi2$ و $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (بشطر $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ )، يعطي التراجع القيمةَ المعروضة. ومتسلسلة ذات الحدين: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ مع $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ ، ونصف القطر $1$ . ومن أجل $k \leq k_0 < 1$ و $u = k^2\sin^2\varphi$ ، تتقارب المتسلسلة $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ تقاربًا ناظميًّا في $\varphi$ ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ )، ومنه تكون المكاملة حدًّا حدًّا في صيغة السؤال 6 مشروعة:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

ومع $c_0 = 1$ و $c_1 = \frac12$ و $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ ، والباقي منتظم من أجل $k \leq k_0$ (إذ يُهيمَن على الذيل بمتسلسلة هندسية).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ ، ومنه

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

لأن $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. في الصيغة الإهليلجية للسؤال 6، يكون $a \mapsto k = \sin\frac a2$ تقابلًا متصلًا متزايدًا تمامًا من $\intoo0\pi$ على $\intoo01$ ، ومن أجل كل $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ يكون المقدار المكامَل $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ متزايدًا تمامًا في $k$ : فيكون $T$ متزايدًا تمامًا. وأما الاتصال: فعلى $k \leq k_0 < 1$ يُهيمَن على المقدار المكامَل بالدالة المتصلة $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ ، ومنه ينطبق التقارب المهيمن على امتداد $k' \to k$ . ومع النهايتين $T \to 2\pi$ حين $a \to 0^+$ (السؤال 6) و $T \to +\infty$ حين $a \to \pi^-$ (السؤال 7)، تجعل الرتابة الأكيدة ومبرهنة القيم الوسطى $T$ تقابلًا من $\intoo0\pi$ على $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. تعدّ الساعة التأرجحات؛ وحين تُضبط عند سعة متلاشية، تقيّد الدور التوافقي $2\pi$ لكل تأرجحة (بوحدة زمن النواس). وحين تُشغَّل عند السعة $a$ ، يكون الدور الحقيقي $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : فتقيّد الساعة $2\pi$ بينما ينقضي فعلًا $T(a)$ ، ومنه تتأخّر بالكسر

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

ومن أجل $a = 0.2$ راديان (نحو $11.5$ درجة): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ ، ولليوم $86400$ ثانية: فتفقد الساعة $86400/400 = 216$ ثانية — أي نحو ثلاث دقائق ونصف — في اليوم. ومن هنا العلاجان التاريخيان: فرضُ سعة ثابتة ضئيلة (بالميزان)، أو ثنيُ القيد بحيث يكون الدور مستقلًّا عن السعة تمامًا (خدّا هويغنس الدويريان، 1657).

16. في $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ يكون المقدار المكامَل، من أجل كل $x$ مثبَّت، متناقصًا تمامًا في $E_0$ : فيكون $\tau$ متناقصًا تمامًا. وحين $E_0 \downarrow 1$ تتزايد المقادير المكامَلة نقطةً نقطة إلى $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ ، وتكامله على $\intoo{-\pi}\pi$ متباعد (إذ ينعدم $\cos\frac x2$ من الرتبة الأولى عند $\pm\pi$ ): فيعطي التقارب الرتيب $\tau(E_0) \to +\infty$ . وحين $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

بالتقارب المهيمن (إذ من أجل $E_0 \geq 2$ يكون المقدار المكامَل على الأكثر $\sqrt2$ ). ومنه $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : أي إن الدورة الواحدة تستغرق زمن الدوران الحر بالسرعة $\sqrt{2E_0}$ ، وقد اختُزل الكمون إلى تموّج — وهو يوافق معدل الدوران في السؤال 10.

17. يحمل المحوران الحلين الصريحين $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ و $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ ، مع موضع التوازن $(0, 0)$ : فهما اتحادان لمدارات. والحقل $\mathcal C^1$ ، ومنه ليبشيتزي محليًّا؛ وحلٌّ ينطلق من $Q$ ويلمس محورًا كان سيمرّ بنقطة من أحد تلك المدارات، فيتوافق معه حسب النتيجة 19.4 — وهو مستحيل، إذ يعيش أحدهما على المحور والآخر لا. ومنه فإن $Q$ صامدة في اتجاهَي الزمن. وأما مواضع التوازن في $Q$ : فإن $x > 0$ يفرض $\alpha - \beta y = 0$ و $y > 0$ يفرض $\delta x - \gamma = 0$ : أي النقطة الوحيدة $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. على امتداد حل،

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

وللمقدار $f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ المشتقةُ $f'' = \gamma/x^2 > 0$ ، ولا تنعدم $f'$ إلا عند $x_*$ ، و $f \to +\infty$ عند $0^+$ وعند $+\infty$ معًا: أي محدّبة تمامًا وسويّة، بأصغرية $f(x_*)$ ؛ وبالمثل $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ ، بأصغرية $g(y_*)$ . ومنه $H \geq h_*$ مع التساوي عند $(x_*, y_*)$ وحدها، وتكون كل مجموعة مستوى أدنى $\{H \leq h\}\cap Q$ متراصة: إذ يحصر $f(x) \leq h - g(y_*)$ المتغيّرَ $x$ في فترة متراصة من $\intoo0{+\infty}$ بالسويّة، وبالمثل $y$ ، والمجموعة مغلقة في $\R^2$ لأن $H \to +\infty$ عند حافة $Q$ . ويبقى الحل الأعظمي على مجموعة مستواه المتراصة، ومنه لا يمكنه أن يغادر كل متراصة في زمن منتهٍ: فتجعله المبرهنة 19.5 شاملًا.

19. نثبّت $h > h_*$ ونضع $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . وبما أن $f$ تتناقص تمامًا من $+\infty$ إلى $f(x_*)$ على $\intoc0{x_*}$ وتتزايد تمامًا راجعةً إلى $+\infty$ على $\intco{x_*}{+\infty}$ ، يكون للمعادلة $f(x) = c$ جذران بالضبط $x_- < x_* < x_+$ ، مع $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . ومن أجل $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : للمعادلة $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ جذران بالضبط $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ ، متصلان في $x$ (بوصفهما مقلوبَي التضييقين المتصلين الرتيبين تمامًا للدالة $g$ على جانبَي $y_*$ )، مع $y_\pm(x) \to y_*$ حين $x \to x_\pm$ ؛ وعند $x = x_\pm$ يكون الحل الوحيد $y = y_*$ . ومنه فإن $\{H = h\}\cap Q$ اتحادُ منحنيَي $y_+$ و $y_-$ فوق $\intcc{x_-}{x_+}$ ، ملتحمين عند $(x_\pm, y_*)$ : أي منحنٍ مغلق حول $(x_*, y_*)$ — وهو نظير بيضاويات النواس.

20. لتكن $C_h = \{H = h\}\cap Q$ مع $h > h_*$ : فموضع التوازن الوحيد في $Q$ خارج $C_h$ ، ومنه لا ينعدم الحقل عليه أبدًا. وأما الإشارات: $x' = \beta x(y_* - y)$ ، $y' = \delta y(x - x_*)$ : فتسير الحركة يمينًا تحت المستقيم $y = y_*$ ، وصعودًا يمين $x = x_*$ ، ويسارًا فوقه، ونزولًا على اليسار — أي دوران عكس عقارب الساعة. ونتتبّع الحل من نقطة $(x_0, y_-(x_0))$ من الفرع السفلي المفتوح، حيث $x' > 0$ : فيكون زمن بلوغ الزاوية اليمنى $B = (x_+, y_*)$

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

وبجوار $x_+$ نختار $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ؛ فمن أجل $x \in \intcc{x'}{x_+}$ ، $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ (إذ $f'$ متزايدة وموجبة بعد $x_*$ )، بينما تعطي علاقة المستوى ومتراجحة تايلور أن $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ على مجال $y$ المتراص للمنحني $C_h$ : ومنه $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ مع $c > 0$ ، ويكون المقدار المكامَل $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : أي قابلًا للمكاملة — وهو تقارب السؤال 5، منقولًا. وفي غير ذلك من الفرع يكون المقدار المكامَل متصلًا. ومنه تُبلَغ $B$ في زمن منتهٍ؛ وهناك $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ ، فيدخل المدار المنطقة $x > x_*$ و $y > y_*$ ، ويصعد إلى الزاوية العليا $(x_*, y_+)$ بالتقدير المتناظر (بتبادل دورَي $f$ و $g$ )، وهكذا حول الأقواس الأربعة: فبعد زمن منتهٍ $T > 0$ يرجع الحل إلى نقطة انطلاقه. وحسب النتيجة 19.4 يكون دوريًّا بالدور $T$ — أي حجة السؤال 4 حرفيًّا.

21. على مدار دوري بالدور $T$ في $Q$ ، تكون $t \mapsto \ln x(t)$ من الصنف $\mathcal C^1$ ودورية بالدور $T$ ، ومنه

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

فنجد $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ؛ وبالمثل يعطي $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ أن $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . فالمتوسطات الزمنية هي قيم التوازن، من أجل كل مدار مهما كانت السعة — أي قانون حفظ لم يضعه أحد باليد.

22. مع الصيد تعود الجملة من نمط لوتكا–فولتيرا، بالوسائط $\alpha - \varepsilon$ و $\beta$ و $\gamma + \varepsilon$ و $\delta$ (ويستمر موضع التوازن الداخلي لأن $\varepsilon < \alpha$ ). وبتطبيق السؤال 21 على الجملة الجديدة:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{متوسط الفريسة يرتفع}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{متوسط المفترس ينخفض}) :

فيزيح الصيدُ العشوائي التوازنَ لصالح الفريسة. وتقرأ معطيات دانكونا ذلك بالعكس: فقد قلّصت الحرب الصيد، فانخفض $\varepsilon$ ، ومنه ارتفع متوسط المفترس $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ وانخفض متوسط الفريسة — أي نسبة أكبر من أسماك القرش في المصيد، وهو بالضبط ما سجّلته أسواق سمك الأدرياتيك. وهذا مبدأ فولتيرا، وهو الآلية نفسها وراء مفارقات المبيدات: فقتلُ المستويين الغذائيين معًا يفيد المستوى المأكول.

23. الوصفة، في الحالتين: (أ) تكاملٌ أول — $E$ من أجل النواس و $H$ هنا، يُوجد بفصل $\dd y/\dd x$ — يطوي المستوي إلى منحنيات؛ (ب) والسويّة وتراص مجموعات المستويات يعطيان الوجود الشامل عبر المبرهنة 19.5؛ (ج) وهندسة المستويات — بيضاويات، من شكل $\cos$ هناك ومن التحدّب الأكيد للدالتين $f$ و $g$ هنا — تُقرأ من التكامل لا من الانسياب؛ (د) وحقلٌ غير منعدم على بيضاوي متراص مع شذوذات زاوية قابلة للمكاملة يفرض زمن عودة منتهيًا؛ (ه) والوحدانية (النتيجة 19.4) تحوّل العودة إلى دورية وتمنع الوصول إلى مواضع التوازن في زمن منتهٍ؛ (و) والعوائد — نشرات الدور، وقوانين المتوسطات — تأتي من مبرهنات التقارب مطبَّقةً على التكاملات الناتجة. ولا $x'' = -\sin x$ ولا لوتكا–فولتيرا يقبل حلًّا ابتدائيًّا بصيغة مغلقة (تكاملات إهليلجية في حالة، ومنحنيات مستوية متسامية في الأخرى)، ولم يُحتَج إلى ذلك في أي لحظة: إذ سلّمت المعادلةُ نفسها، مستجوَبةً نوعيًّا، الحركةَ بكاملها.

24. على مستوى طاقة $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : فتقع القيم القصوى للمقدار $y^2$ عند $\cos x = \pm1$ ، فتعطي الحدود المذكورة، وهي مبلوغة عند $x \equiv 0, \pi$ . والمتوسط الزمني على دور واحد $\tau = \tau(E_0)$ : إذ يتقدّم $x$ بمقدار $2\pi$ بالضبط، ومنه

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

ونسبة السرعتين القصويين هي $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : أي إنه عند الطاقة العالية يكون تموّج الكمون $\pm1$ مهملًا أمام $E_0$ ، فيدور النواس دورانًا شبه منتظم — فتستوي لوحة الغسيل.

25. على $E_0 \geq 1 + \delta$ ، يُهيمَن على المقدار المكامَل في $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ بالمقدار $(2\delta)^{-1/2}$ ، وعلى مشتقته بالنسبة إلى $E_0$

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

بالمقدار $(2\delta)^{-3/2}$ ، وكلاهما قابل للمكاملة على المتراصة $\intcc{-\pi}\pi$ : فينطبق الاشتقاق تحت علامة التكامل (المبرهنة 10.15) ويعطي $\tau'(E_0) < 0$ (إذ المقدار المكامَل سالب تمامًا): أي متناقص تمامًا ومن الصنف $\mathcal C^1$ . وأما النهايات: فحين $E_0 \to \infty$ ، $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ؛ وحين $E_0 \to 1^+$ : نكتب $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ؛ فيتزايد المقدار المكامَل حين يتناقص $E_0$ ، ومنه بالتقارب الرتيب

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

والتكامل الحدّي متباعد عند $x = \pm\pi$ (إذ هناك $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ ، وهو $\frac1{\abs\cdot}$ غير قابل للمكاملة): فينفجر الدور باقتراب الفاصلة، موافقًا $T(a) \to \infty$ في الجزء الثاني من جهة التأرجح. ويُقرأ محور الطاقة: سكونٌ عند $E_0 = -1$ ؛ وتأرجحات، $2\pi \nearrow \infty$ ، على $\intoo{-1}1$ ؛ والفاصلة البطيئة لانهائيًّا عند $E_0 = 1$ ؛ ودورانات، $\infty \searrow 0$ ، بعدها. تكاملٌ واحد، وحياة النواس بأسرها.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد