الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

12فضاءات Lp

بُني تكامل لوبيغ من أجل التحليل؛ وفضاءات $L^p$ هي المكان الذي يسكنه ذلك التحليل. فهي فضاءات باناخ (ريس–فيشر) — أي الإتمامات التي بيّن التمرين 7.1 أن الدوال المتصلة تفتقر إليها — وهي تحمل تقنية تنعيم، هي الالتفاف مع المليِّفات، تقرّب كل دالة من $L^p$ بدوال $\mathcal C^\infty$ . ويبرهن هذا الفصل على صيغتي هولدر ومينكوفسكي التكامليتين، وعلى التمام، ومبرهنات الكثافة، وآلة التنظيم، وينتهي بجغرافيا الاحتواء والاستيفاء في سلّم $L^p$ . وفي كل ما يلي، يكون $(X, \mathcal A, \mu)$ فضاءً قياسيًّا وتكون الدوال ذات قيم عقدية؛ وعلى $\R^d$ يكون القياس هو $\lambda_d$ .

12.1 التعريف؛ هولدر ومينكوفسكي

تعريف 12.1

من أجل $1 \leq p < \infty$ ، تكون $\mathcal L^p(\mu)$ مجموعة الدوال القابلة للقياس $f$ التي تحقق $\norm f_p = \bigl(\int\abs f^p\dd\mu\bigr)^{1/p} < \infty$ ، وتكون $\mathcal L^\infty(\mu)$ مجموعة الدوال $f$ المحدودة خارج مجموعة معدومة القياس، مع $\norm f_\infty$ السوپريموم الجوهري — أي أصغر عدد $M$ يحقق $\abs f \leq M$ في كل مكان تقريبًا (والإنفيموم مبلوغ: يكفي مقاطعة المجموعات المعدومة الموافقة للأعداد $M + \frac1n$ ). وبما أن $\norm f_p = 0$ لا يفرض إلا $f = 0$ في كل مكان تقريبًا (التمرين 10.5)، نعرّف

L^p(\mu) = \mathcal L^p(\mu)/\{f = 0 \text{ في كل مكان تقريبًا}\} :

فتكون العناصر أصنافَ دوال بترديد المجموعات المعدومة، ويكون $\norm\cdot_p$ معيارًا فعليًّا على $L^p$ .

مبرهنة 12.2 (متراجحة هولدر)

ليكن $1 \leq p, q \leq \infty$ مع $\frac1p + \frac1q = 1$ (أي أُسّين مترافقين). من أجل دالتين قابلتين للقياس $f, g$ :

\norm{fg}_1 \leq \norm f_p\,\norm g_q ,

مع التساوي (من أجل $1 < p < \infty$ ، ونظائم منتهية، و $f,g\ne0$ ) إذا وفقط إذا كان $\abs f^p$ و $\abs g^q$ متناسبين في كل مكان تقريبًا.

برهان. الحالتان $\{p, q\} = \{1, \infty\}$ مباشرتان ( $\abs{fg} \leq \norm g_\infty\abs f$ في كل مكان تقريبًا). وليكن $1 < p < \infty$ ؛ نعيِّر $\norm f_p = \norm g_q = 1$ (بالتجانس؛ فالنظائم المعدومة أو اللانهائية بديهية). وتعطي متراجحة يونغ $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ (حيث $a, b \geq 0$ ؛ بتقعّر $\ln$ ، كما في المسألة 8.1) نقطةً نقطة أن $\abs{f g} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ؛ ونكامل: $\norm{fg}_1 \leq \frac1p + \frac1q = 1$ . ويفرض التساوي تساويًا في متراجحة يونغ في كل مكان تقريبًا، أي $\abs f^p = \abs g^q$ في كل مكان تقريبًا (بعد التعيير؛ وبالرجوع عنه، التناسب). ∎

مبرهنة 12.3 (متراجحة مينكوفسكي)

من أجل $1 \leq p \leq \infty$ : $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ .

برهان. الحالتان $p = 1, \infty$ : بمتراجحة المثلث نقطةً نقطة أو في كل مكان تقريبًا. ومن أجل $1 < p < \infty$ ، نفترض أن $\norm{f+g}_p < \infty$ (وإلا استعملنا $\abs{f+g}^p \leq 2^{p-1}(\abs f^p + \abs g^p)$ ، الناتجة عن تحدّب $t^p$ ، لنرى أن الطرف الأيسر منتهٍ حين يكون الأيمن كذلك). عندئذٍ

\norm{f{+}g}_p^p \leq \int\abs f\,\abs{f{+}g}^{p-1} + \int\abs g\,\abs{f{+}g}^{p-1} \leq \bigl(\norm f_p + \norm g_p\bigr)\, \bigl\|\abs{f{+}g}^{p-1}\bigr\|_q

بهولدر، و $\norm{\abs{f+g}^{p-1}}_q = \norm{f+g}_p^{p/q}$ لأن $(p-1)q = p$ ؛ ثم نقسم على $\norm{f+g}_p^{p/q}$ (إن لم يكن معدومًا؛ وإلا فالنتيجة بديهية) ونستعمل $p - \frac pq = 1$ . ∎

12.2 التمام وما يصحبه

مبرهنة 12.4 (ريس–فيشر)

من أجل $1 \leq p \leq \infty$ ، يكون $L^p(\mu)$ فضاء باناخ. وأكثر من ذلك، لكل متتالية متقاربة في $L^p$ متتاليةٌ جزئية متقاربة في كل مكان تقريبًا (مع مهيمِن في $L^p$ في حالة $p < \infty$ ).

برهان. حالة $p = \infty$ : كل متتالية كوشية بالمعنى $\norm\cdot_\infty$ هي، خارج مجموعة معدومة واحدة (أي اتحاد عدد قابل للعدّ منها)، كوشيةٌ بانتظام: فتتقارب بانتظام خارجها؛ وانتهى. وليكن $p < \infty$ . فحسب التمرين 7.1(b) يكفي جمع المتسلسلات المتقاربة تقاربًا مطلقًا: ليكن $\sum\norm{f_k}_p = M < \infty$ . نضع $G_n = \sum_{k \leq n}\abs{f_k}$ و $G = \sum_k\abs{f_k}$ (نقطةً نقطة في $[0,\infty]$ ): فبمينكوفسكي $\norm{G_n}_p \leq M$ ، وتعطي مبرهنة التقارب الرتيب ( $G_n^p \nearrow G^p$ ) أن $\int G^p \leq M^p$ : أي $G < \infty$ في كل مكان تقريبًا، ومنه تتقارب المتسلسلة $\sum f_k(x)$ تقاربًا مطلقًا من أجل $x$ في كل مكان تقريبًا؛ ولنسمّ مجموعها $S(x)$ (بأي قيمة على المجموعة المعدومة). عندئذٍ $\abs{S - \sum_{k\leq n}f_k}^p \leq (2G)^p \in L^1$ ، وتعطي مبرهنة التقارب المهيمن أن $\norm{S - \sum_{k\leq n}f_k}_p \to 0$ : أي إن المتسلسلة تتقارب في $L^p$ .

وأما عبارة المتتالية الجزئية: فإذا كان $f_n \to f$ في $L^p$ ، اخترنا $n_k$ تحقق $\norm{f_{n_{k+1}} - f_{n_k}}_p \leq 2^{-k}$ ؛ فتقع المتسلسلة $\sum(f_{n_{k+1}} - f_{n_k})$ تحت الحجة السابقة: إذ تتقارب تقاربًا مطلقًا في كل مكان تقريبًا، وتُهيمَن بمقدار $G \in L^p$ ، ومنه $f_{n_k} \to f_{n_1} + \sum(\cdots)$ في كل مكان تقريبًا، ولا بد أن تكون هذه النهاية ممثلًا للدالة $f$ (إذ كلتاهما نهاية في $L^p$ ). وأما المهيمِن: فهو $\abs{f_{n_k}} \leq \abs{f_{n_1}} + G$ . ∎

ملاحظة 12.5

لا يستلزم التقارب في $L^p$ التقاربَ في كل مكان تقريبًا (كما في متتالية الآلة الكاتبة، التمرين 12.3)، ولا العكس (كما في النتوءات الهاربة): فالنمطان لا يرتبطان إلا عبر المتتاليات الجزئية والهيمنة. واستحضار الأمثلة المضادة في التمرين 12.3 خير لقاح ضد الخلط.

12.3 مبرهنات الكثافة

مبرهنة 12.6

ليكن $1 \leq p < \infty$ .

الدوال البسيطة (ذات الحوامل المنتهية القياس) كثيفةٌ في $L^p(\mu)$ .
في $L^p(\R^d)$ ، تكون الدوال المتصلة ذات الحامل المتراص $\mathcal C_c(\R^d)$ كثيفة.
الانسحاب متصل على $L^p(\R^d)$ : فبكتابة $\tau_hf = f(\cdot - h)$ ، يكون $\norm{\tau_hf - f}_p \to 0$ حين $h \to 0$ .

ولا تصح أي واحدة من الثلاث من أجل $p = \infty$ .

برهان. (1) من أجل $f \geq 0$ : تحقق الدوال الثنائية $s_n \nearrow f$ من المبرهنة 10.4 أن $\abs{f - s_n}^p \leq f^p \in L^1$ : بالتقارب المهيمن. (وكل $s_n \leq f$ ينتمي إلى $L^p$ ، ومجموعات مستوياته منتهية القياس حيث تكون القيمة موجبة: $\mu(s_n \geq c) \leq c^{-p}\int f^p$ .) ثم نشطر $f$ العامة إلى أربعة أجزاء غير سالبة.

(2) حسب (1) يكفي تقريب $\mathbf 1_A$ ، حيث $A$ بوريلية تحقق $\lambda_d(A) < \infty$ . ويعطي الانتظام (بالبرهان نفسه كما في المبرهنة 9.13) متراصةً $K \subseteq A \subseteq U$ ومفتوحةً تحققان $\lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ ؛ ودالة أوريسون

\varphi(x) = \frac{d(x, \R^d\setminus U)}{d(x, \R^d\setminus U) + d(x, K)}

متصلة، وتساوي $1$ على $K$ و $0$ خارج $U$ ، ويمكن أخذها ذات حامل متراص (بتقليص $U$ إلى مفتوحة محدودة أولًا). عندئذٍ $\norm{\mathbf 1_A - \varphi}_p^p \leq \lambda_d(U\setminus K) < \varepsilon$ .

(3) من أجل $g \in \mathcal C_c$ : يعطي الاتصال المنتظم أن $\norm{\tau_hg - g}_\infty \to 0$ ، مع حوامل في متراصة ثابتة من أجل $\abs h \leq 1$ : ومنه $\norm{\tau_hg - g}_p \to 0$ . وأما من أجل $f$ عامة: فنختار $g \in \mathcal C_c$ تحقق $\norm{f - g}_p < \varepsilon$ ؛ عندئذٍ $\norm{\tau_hf - f}_p \leq 2\norm{f - g}_p + \norm{\tau_hg - g}_p$ (بصمود المعيار بالانسحاب).

وأما من أجل $p = \infty$ : فالتقريب المنتظم للدالة $\mathbf 1_{\intoo0\infty}$ بدوال متصلة مستحيل (بسبب القفزة)، ويكون $\norm{\tau_h\mathbf 1_{\intoo0\infty} - \mathbf 1_{\intoo0\infty}}_\infty = 1$ من أجل $h \neq 0$ . ∎

12.4 الالتفاف والتنظيم

مبرهنة 12.7 (متراجحة يونغ)

ليكن $1 \leq p \leq \infty$ ، $f \in L^1(\R^d)$ ، $g \in L^p(\R^d)$ . عندئذٍ تكون $f * g$ معرَّفة في كل مكان تقريبًا، وتنتمي إلى $L^p$ ، و

\norm{f * g}_p \leq \norm f_1\,\norm g_p .

برهان. حالة $p = \infty$ : بالحد المباشر. وحالة $p = 1$ : هي المبرهنة 11.9. وليكن $1 < p < \infty$ وليكن $q$ المرافق. نشطر $\abs{f(y)} = \abs{f(y)}^{1/q}\cdot \abs{f(y)}^{1/p}$ ونطبّق هولدر:

\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x{-}y)}\,\dd y \leq \Bigl(\int\abs f\Bigr)^{1/q} \Bigl(\int\abs{f(y)}\,\abs{g(x - y)}^p\,\dd y\Bigr)^{1/p} .

ثم نرفع إلى القوة $p$ ونكامل في $x$ ؛ وتعطي تونيلي على العامل الثاني أن $\norm f_1^{p/q}\cdot\norm f_1\norm g_p^p$ ، أي $\norm{f*g}_p^p \leq \norm f_1^{1 + p/q}\norm g_p^p = (\norm f_1\norm g_p)^p$ — ويبرّر انتهاءُ تكامل تونيلي التقاربَ المطلق في كل مكان تقريبًا كما في المبرهنة 11.9. ∎

تعريف 12.8 (المليِّفات)

الدالة

\rho(x) = \begin{cases} c\,\exp\Bigl(-\dfrac{1}{1 - \norm x^2}\Bigr) & \norm x < 1,\\ 0 & \norm x \geq 1, \end{cases}

حيث يعيِّر $c$ الشرط $\int\rho = 1$ ، هي $\mathcal C^\infty$ على $\R^d$ : إذ المهم أن $t \mapsto \eu^{-1/t}\mathbf 1_{t>0}$ دالة $\mathcal C^\infty$ على $\R$ ، وأن جميع مشتقاتها عند $0^+$ معدومة (فكل مشتقة من الشكل $P(1/t)\eu^{-1/t}$ من أجل كثير حدود $P$ ، وهو يؤول إلى $0$ ؛ بالتراجع). ومن أجل $\varepsilon > 0$ نضع $\rho_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-d}\rho(x/\varepsilon)$ : فحاملها في $\bar B(0, \varepsilon)$ ، وتكاملها لا يزال $1$ .

مبرهنة 12.9 (التنظيم)

ليكن $1 \leq p < \infty$ و $f \in L^p(\R^d)$ . عندئذٍ:

$f * \rho_\varepsilon \in \mathcal C^\infty(\R^d)$ ، مع $\partial^\alpha(f * \rho_\varepsilon) = f * \partial^\alpha\rho_\varepsilon$ ؛
$\norm{f * \rho_\varepsilon - f}_p \to 0$ حين $\varepsilon \to 0$ ؛
ومن ثَمّ تكون $\mathcal C^\infty_c(\R^d)$ كثيفة في $L^p(\R^d)$ .

برهان. (1) بالاشتقاق تحت علامة التكامل (المبرهنة 10.15) في $x$ : فمن أجل $x$ في كرة $B$ ، يكون $\abs{\partial_{x_i}\rho_\varepsilon(x - y)} \leq C_\varepsilon\,\mathbf 1_{K}(y)$ حيث $K$ متراصة (أي النقاط $y$ البعيدة عن $B$ بأقل من $\varepsilon$ )، ويكون $\abs f\,\mathbf 1_K \in L^1$ (بهولدر مقابل $\mathbf 1_K$ ): فتنطبق المبرهنة؛ ونكرّر من أجل المشتقات العليا.

(2) بما أن $\int\rho_\varepsilon = 1$ :

(f * \rho_\varepsilon)(x) - f(x) = \int \bigl(f(x - y) - f(x)\bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y ,

ومتراجحة مينكوفسكي التكاملية — أو مباشرةً: هولدر أو ينسن مع القياس الاحتمالي $\rho_\varepsilon\dd y$ ثم تونيلي —

\norm{f*\rho_\varepsilon - f}_p^p \leq \int\Bigl(\int\abs{f(x-y) - f(x)}^p\dd x\Bigr)\rho_\varepsilon(y)\,\dd y = \int \norm{\tau_yf - f}_p^p\;\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

(والخطوة الوسطى: نطبّق متراجحة ينسن، التمرين 12.10، على التكامل الداخلي في $y$ ، ثم تونيلي). وحامل المقدار المكامَل في $\norm y \leq \varepsilon$ ، وهو يؤول إلى $0$ هناك بانتظام حين $\varepsilon \to 0$ (المبرهنة 12.6(3)): ومنه يؤول التعبير كله إلى $0$ .

(3) نقرّب $f$ بدالة $g \in \mathcal C_c$ (المبرهنة 12.6(2))، ثم نقرّب $g$ بالمقدار $g * \rho_\varepsilon \in \mathcal C_c^\infty$ (وحامله متراص: لأنه مجموع الحاملين). ∎

مثال 12.10 (تمليف $\abs x$ ، مع المعدلات)

لنأخذ $f(x) = \abs x$ على $\R$ (وهي في $L^1$ محليًّا؛ فتنطبق المبرهنة على كل نافذة محدودة) ومليِّفًا متناظرًا $\rho_\varepsilon$ . عندئذٍ

f_\varepsilon(x) = (f * \rho_\varepsilon)(x) = \int\abs{x - y}\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y

تكون $\mathcal C^\infty$ ؛ وبعيدًا عن الانكسار لا يحدث شيء: فمن أجل $\abs x \geq \varepsilon$ ، يكون $\abs{x - y}$ خطيًّا في $x$ على حامل $\rho_\varepsilon$ ، ومنه $f_\varepsilon(x) = \abs x$ بالضبط (إذ يلغي التناظر التصحيح). وبجوار $0$ ، يكلّف التنعيم بالضبط

0 \leq f_\varepsilon(0) = \int\abs y\,\rho_\varepsilon(y)\,\dd y \leq \varepsilon, \qquad \norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \varepsilon :

أي إن خطأ التقريب محصور في جوار السويّة $\varepsilon$ للشذوذ، وهو من حجمه. وفي الوقت نفسه $f_\varepsilon'' \geq 0$ في كل مكان (لأن $f$ محدّبة، والالتفاف مع $\rho_\varepsilon \geq 0$ يحفظ التحدّب)، مع $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$ : فالمشتقة الثانية نتوءٌ كتلته $2$ مضغوطٌ في عرض $O(\varepsilon)$ ، ومنه $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$ . فالتنعيم مقايضة: خطأ منتظم من رتبة $O(\varepsilon)$ مقابل انفجار المشتقة $O(\varepsilon^{-1})$ — وهو سعر الصرف الدقيق الذي يصوغه التحليل الكمّي (متراجحات الاستيفاء، ودائرة الأفكار في المسألة 12.1).

نتيجة 12.11 (المبرهنة المساعدة الأساسية في حساب التغيّرات)

لتكن $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\R^d)$ (قابلة للمكاملة على المتراصات) وتحقق $\int f\varphi = 0$ من أجل كل $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ . عندئذٍ $f = 0$ في كل مكان تقريبًا.

برهان. نثبّت كرة $B = B(0, R)$ ولتكن $g = f\mathbf 1_{B(0, R+1)} \in L^1$ . من أجل $x \in B$ ومن أجل $\varepsilon < 1$ : $(g * \rho_\varepsilon)(x) = \int f(y)\rho_\varepsilon(x - y)\dd y = 0$ ، ودالة الاختبار هي $y \mapsto \rho_\varepsilon(x-y) \in \mathcal C_c^\infty$ . لكن $g * \rho_\varepsilon \to g$ في $L^1$ (المبرهنة 12.9): ومنه $g = 0$ في كل مكان تقريبًا على $B$ ؛ ثم نستنفد $\R^d$ . ∎

12.5 جغرافيا $L^p$

قضية 12.12

(a) إذا كان $\mu(X) < \infty$ و $1 \leq p \leq q \leq \infty$ ، فإن $L^q \subseteq L^p$ مع $\norm f_p \leq \mu(X)^{\frac1p - \frac1q}\,\norm f_q$ . (b) وعلى $\R^d$ (ذي القياس اللانهائي) لا توجد أي احتواءات: فمن أجل $p \neq q$ توجد دوال في $L^p\setminus L^q$ . (c) (الاستيفاء) إذا كان $p < r < q$ وعُرِّف $\alpha \in \intoo01$ بالعلاقة $\frac1r = \frac\alpha p + \frac{1 - \alpha}q$ ، فإن

\norm f_r \leq \norm f_p^{\alpha}\,\norm f_q^{1 - \alpha} ;

وعلى وجه الخصوص $L^p \cap L^q \subseteq L^r$ .

برهان. (a) بهولدر مع الأُسّين $\frac qp$ ومرافقه: $\int\abs f^p\cdot 1 \leq \norm{\abs f^p}_{q/p}\,\norm 1_{(q/p)'} = \norm f_q^p\,\mu(X)^{1 - p/q}$ (وحالة $q = \infty$ مباشرة). (b) بجوار $0$ وبجوار $\infty$ ، تعاير القوى $x^{-\alpha}$ الوضع: التمرين 12.2. (c) نكتب $\abs f^r = \abs f^{r\alpha}\abs f^{r(1-\alpha)}$ ونطبّق هولدر مع الزوج المترافق $\frac p{r\alpha}$ و $\frac q{r(1-\alpha)}$ (وهما مترافقان بحكم تعريف $\alpha$ بالضبط): $\int\abs f^r \leq \norm f_p^{r\alpha}\norm f_q^{r(1 - \alpha)}$ . ∎

طريقة 12.13

عدّة $L^p$ ، كما تُستعمل في كل ما يأتي: لتبرهن على متطابقة أو متراجحة من أجل كل $f \in L^p$ — برهن عليها على صنف كثيف ( $\mathcal C_c^\infty$ عبر المبرهنة 12.9) ومدّدها بالاتصال (المبرهنة 7.2، إذ الطرفان متصلان بالمعنى $L^p$ )؛ ولتبرهن على أن $f = 0$ ، اختبر مقابل $\mathcal C_c^\infty$ (النتيجة 12.11)؛ ولتكسب نعومة، التفّ؛ ولتقايض الأُسّ، استعمل هولدر والاستيفاء. ونظرية فورييه في الفصل 14 تطبيقٌ واحد طويل لهذه الطريقة.

12.6 تمارين

تمرين 12.1 ★

(a) صُغ متراجحة كوشي–شوارتز في $L^2(\mu)$ وبرهن عليها بوصفها حالة $p = q = 2$ من هولدر. (b) على فضاء احتمالي، برهن على أن $p \mapsto \norm f_p$ متزايدة بالمعنى الواسع. (c) متى تكون هولدر تساويًا من أجل $p = 1$ و $q = \infty$ ؟

حل

حل التمرين 12.1.

(a) هي حالة $p = q = 2$ في المبرهنة 12.2: $\abs{\int f\bar g\,\dd\mu} \leq \int\abs{fg} \leq \norm f_2\norm g_2$ — أي كوشي–شوارتز، مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\abs f, \abs g$ متناسبين وكانت الأطوار متوافقة.

(b) على فضاء احتمالي، ومن أجل $p \leq q$ : نطبّق ينسن (التمرين 12.10) بالدالة المحدّبة $\Phi(t) = \abs t^{q/p}$ على الدالة $\abs f^p$ : $\bigl(\int\abs f^p\bigr)^{q/p} \leq \int\abs f^q$ ، أي $\norm f_p \leq \norm f_q$ .

(c) يكون $\int\abs{fg} = \norm f_1\norm g_\infty$ إذا وفقط إذا كان $\abs{g} = \norm g_\infty$ في كل مكان تقريبًا على $\{f \neq 0\}$ (إذ يجب أن تكون المتراجحة $\abs{fg} \leq \abs f\norm g_\infty$ تساويًا في كل مكان تقريبًا).

تمرين 12.2 ★

من أجل أي $p \in \intco1\infty$ تنتمي الدوال التالية إلى $L^p$ ؟

x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo01},\qquad x^{-1/2}\mathbf 1_{\intoo1\infty},\qquad \frac{1}{x^{1/2}(1 + \abs{\ln x})}\ \text{على} \intoo01, \qquad \frac1{1 + \abs x}\ \text{على} \R .

واخلص إلى: أن $p$ الصغير أيسر على $\intoo01$ ، وأن $p$ الكبير أيسر على $\intoo1\infty$ ، وأنه لا يحتوي أي $L^p$ آخرَ على $\R$ .

حل

حل التمرين 12.2.

يكون $\int_0^1 x^{-p/2}\dd x < \infty$ إذا وفقط إذا كان $p < 2$ : فالأولى في $L^p$ من أجل $p \in \intco12$ . ويكون $\int_1^\infty x^{-p/2}\dd x < \infty$ إذا وفقط إذا كان $p > 2$ : فالثانية من أجل $p \in \intoo2\infty$ (ومن أجل $p = \infty$ : فهي محدودة — ونضمّها). والثالثة: من أجل $p < 2$ ، تُهيمَن بالمقدار $x^{-p/2}$ : فهي قابلة للمكاملة؛ ومن أجل $p = 2$ ، نعوّض $u = -\ln x$ : $\int_0^1\frac{\dd x}{x(1 + \abs{\ln x})^2} = \int_0^\infty\frac{\dd u}{(1 + u)^2} < \infty$ ؛ ومن أجل $p > 2$ تهيمن القوة: فتتباعد. ومنه $p \in \intcc12$ . والرابعة: $\int_\R\frac{\dd x}{(1 + \abs x)^p} < \infty$ إذا وفقط إذا كان $p > 1$ ؛ وهي محدودة، ومنه فهي في $L^\infty$ أيضًا: $p \in \intoc1\infty$ . والعبرة: أن القابلية للمكاملة عند $0$ تحب $p$ الصغير، وعند $\infty$ تحب $p$ الكبير؛ وبضمّ العائقين لا يوجد أي احتواء بين فضاءات $L^p(\R)$ .

تمرين 12.3 ★★

(الآلة الكاتبة) عدّد الفترات الثنائية $I_1 = \intcc01$ ، $I_2 = \intcc0{\frac12}$ ، $I_3 = \intcc{\frac12}1$ ، $I_4 = \intcc0{\frac14}$ ، … ولتكن $f_n = \mathbf 1_{I_n}$ . (a) برهن على أن $f_n \to 0$ في كل $L^p(\intcc01)$ حيث $p < \infty$ ، لكن $(f_n(x))$ تتباعد من أجل كل $x \in \intcc01$ . (b) أبرز المتتالية الجزئية المتقاربة في كل مكان تقريبًا التي تعد بها المبرهنة 12.4. (c) وبالعكس، أعطِ متتالية تتقارب في كل مكان تقريبًا دون أن تتقارب في $L^1$ ، وأخرى تتقارب في $L^1$ دون أن تتقارب في أي $L^p$ حيث $p > 1$ .

حل

حل التمرين 12.3.

(a) $\norm{f_n}_p^p = \lambda(I_n) \to 0$ (فعند المستوى الثنائي $k$ يكون الطول $2^{-k}$ ). لكن كل $x$ يقع في فترة واحدة من كل مستوى ثنائي: ومنه $f_n(x) = 1$ عددًا لانهائيًّا من المرات و $= 0$ عددًا لانهائيًّا من المرات (في فترات المستوى نفسه التي لا تحتوي $x$ ): فلا تقارب في أي نقطة.

(b) المتتالية $f_{n_k} = \mathbf 1_{\intcc0{2^{-k}}}$ (أي الفترة الأولى من كل مستوى) تتقارب إلى $0$ عند كل $x > 0$ : أي في كل مكان تقريبًا.

(c) في كل مكان تقريبًا دون $L^1$ : $n\mathbf 1_{\intoo0{1/n}} \to 0$ في كل مكان تقريبًا، وتكاملها $1$ . وفي $L^1$ دون أي $L^p$ (حيث $p > 1$ ): $g_n = \eu^n\,\mathbf 1_{(0,\ \eu^{-n}/n)}$ : فيكون $\norm{g_n}_1 = \frac1n \to 0$ ، بينما $\norm{g_n}_p^p = \eu^{(p-1)n}/n \to \infty$ من أجل كل $p > 1$ .

تمرين 12.4 ★★

ليكن $\mu(X) < \infty$ و $f \in L^\infty(\mu)$ ، مع $f \neq 0$ . برهن على أن $\norm f_p \to \norm f_\infty$ حين $p \to \infty$ . (الحدّ الأعلى من (a) في القضية 12.12؛ والحدّ الأدنى بالمكاملة على $\{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ ، وهي ذات قياس موجب.)

حل

حل التمرين 12.4.

الحدّ الأعلى: $\norm f_p \leq \mu(X)^{1/p}\norm f_\infty$ (القضية 12.12(a) مع $q = \infty$ )، و $\mu(X)^{1/p} \to 1$ . والحدّ الأدنى: من أجل $\varepsilon > 0$ ، تحقق $A = \{\abs f > \norm f_\infty - \varepsilon\}$ أن $\mu(A) > 0$ (بتعريف السوپريموم الجوهري)، و

\norm f_p \geq \Bigl(\int_A \abs f^p\Bigr)^{1/p} \geq (\norm f_\infty - \varepsilon)\,\mu(A)^{1/p} \xrightarrow[p\to\infty]{} \norm f_\infty - \varepsilon .

تمرين 12.5 ★★

(a) أين بالضبط يستعمل برهان المبرهنة 12.6(3) الفرضيةَ $p < \infty$ ؟ (b) برهن على أن $f \in L^\infty(\R)$ تحقق $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ إذا وفقط إذا كان للدالة $f$ ممثّل متصل بانتظام.

حل

حل التمرين 12.5.

(a) مرتين: فالتحويل $\norm{\tau_hg - g}_p \leq C^{1/p}\norm{\tau_hg - g}_\infty$ (بحامل منتهي القياس) لا ينحلّ من أجل $p = \infty$ إلا من حيث إخفاق كثافة $\mathcal C_c$ هناك — وتلك هي الفجوة الحقيقية: إذ ليس للخطوة (2) من المبرهنة 12.6 نظيرٌ في $L^\infty$ .

(b) إذا كان للدالة $f$ ممثّل متصل بانتظام $g$ : فإن $\norm{\tau_hf - f}_\infty = \sup_x\abs{g(x - h) - g(x)} \to 0$ . وبالعكس، لنفترض أن $\norm{\tau_hf - f}_\infty \to 0$ . تكون التمليفات $f_\varepsilon = f * \rho_\varepsilon$ متصلة، ويكون

\norm{f_\varepsilon - f}_\infty \leq \sup_{\norm y \leq \varepsilon}\norm{\tau_yf - f}_\infty \longrightarrow 0

(إذ الالتفاف متوسطٌ للمنسحبات). وكل $f_\varepsilon$ متصلة بانتظام ( $\norm{\tau_hf_\varepsilon - f_\varepsilon}_\infty \leq \norm{\tau_hf - f}_\infty$ ، بالتوسيط)، والنهاية المنتظمة لدوال متصلة بانتظام هي كذلك: ومنه توافق $f$ في كل مكان تقريبًا دالةً متصلة بانتظام.

تمرين 12.6 ★★

ليكن $p, q$ مترافقين، وليكن $f \in L^p(\R^d)$ و $g \in L^q(\R^d)$ . برهن على أن $f * g$ معرَّفة في كل نقطة، ومحدودة، مع $\norm{f*g}_\infty \leq \norm f_p\norm g_q$ ، ومتصلة بانتظام. (باتصال الانسحاب في $L^p$ ؛ وعالج $p \in \{1, \infty\}$ على حدة — إذ من أجل $p = \infty$ يُستعمل اتصال الانسحاب على العامل الذي في $L^1$ .)

حل

حل التمرين 12.6.

بهولدر، يكون المقدار المكامَل $y \mapsto f(x - y)g(y)$ من أجل كل $x$ في $L^1$ مع $\abs{(f*g)(x)} \leq \norm f_p\norm g_q$ : فهي معرَّفة في كل نقطة ومحدودة. وأما الاتصال المنتظم ( $p < \infty$ ):

\abs{(f*g)(x + h) - (f*g)(x)} = \Bigl|\int\bigl(\tau_{-h}f - f\bigr)(x - y)\,g(y)\dd y\Bigr| \leq \norm{\tau_{-h}f - f}_p\,\norm g_q \xrightarrow[h\to0]{} 0,

بانتظام في $x$ (المبرهنة 12.6(3)). وإذا كان $p = \infty$ ، فإن $q = 1$ : نكتب $f * g = g * f$ ونجري الحد نفسه مع فعل الانسحاب على $g \in L^1$ .

تمرين 12.7 ★★

لتكن $f \in L^1_{\mathrm{loc}}(\intoo ab)$ تحقق $\int f\varphi' = 0$ من أجل كل $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\intoo ab)$ . برهن على أن $f$ تساوي ثابتًا في كل مكان تقريبًا. (ثبّت $\chi \in \mathcal C_c^\infty$ تحقق $\int\chi = 1$ ؛ فكل $\psi \in \mathcal C_c^\infty$ تحقق $\int\psi = 0$ هي $\varphi'$ ما؛ ثم اكتب دالة اختبار عامة على الشكل $\psi + (\int\psi)\chi$ وطبّق النتيجة 12.11 على $f - c$ حيث $c = \int f\chi$ .)

حل

حل التمرين 12.7.

نثبّت $\chi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ تحقق $\int\chi = 1$ ، ونضع $c = \int f\chi$ . ولتكن $\varphi \in \mathcal C_c^\infty$ كيفما اتفق ولتكن $\psi = \varphi - \bigl(\int\varphi\bigr)\chi$ : عندئذٍ $\int\psi = 0$ ، ومنه تعرّف $\Phi(x) = \int_a^x\psi$ دالةً $\Phi \in \mathcal C_c^\infty(\intoo ab)$ (تنعدم بجوار الطرفين: بجوار $a$ بداهةً، وبجوار $b$ لأن التكامل الكلي $0$ ) مع $\Phi' = \psi$ . وتعطي الفرضية أن $\int f\psi = \int f\Phi' = 0$ ، ومنه

\int f\varphi = \Bigl(\int\varphi\Bigr)\int f\chi = \int c\,\varphi \quad\text{من أجل كل} \varphi: \qquad \int(f - c)\varphi = 0 .

وحسب النتيجة 12.11 (موضَّعةً على $\intoo ab$ )، يكون $f = c$ في كل مكان تقريبًا.

تمرين 12.8 ★★★

(أوريسون الناعمة) ليكن $K \subseteq U \subseteq \R^d$ ، مع $K$ متراصة و $U$ مفتوحة. أنشئ $\varphi \in \mathcal C^\infty_c(\R^d)$ تحقق $0 \leq \varphi \leq 1$ ، و $\varphi = 1$ على $K$ ، و $\operatorname{supp}\varphi \subseteq U$ . (بتمليف الدالة المميّزة لجوار السويّة $\delta$ للمجموعة $K$ ، أي $K_\delta$ ، بالمليِّف $\rho_{\delta/2}$ ، من أجل $\delta$ صغير.) واستنتج عبارة تجزئة الوحدة من الصنف $\mathcal C^\infty$ من أجل متراصة مغطّاة بعدد منتهٍ من المفتوحات.

حل

حل التمرين 12.8.

ليكن $3\delta < d(K, \R^d\setminus U)$ (وهو موجب: التمرين 6.6(b)؛ وإذا كان $U = \R^d$ صلح أي $\delta$ )، ولتكن $K_\delta = \{x : d(x, K) \leq \delta\}$ ، و

\varphi = \mathbf 1_{K_\delta} * \rho_{\delta/2} .

عندئذٍ $\varphi \in \mathcal C^\infty$ (المبرهنة 12.9(1)؛ لأن الدالة المميّزة في $L^1$ )، و $0 \leq \varphi \leq 1$ (لأن $\int\rho = 1$ )، و $\varphi = 1$ على $K$ (فمن أجل $x \in K$ يكون $\bar B(x, \delta/2) \subseteq K_\delta$ ، ومنه يكامل الالتفاف $\rho$ كاملةً)، و $\operatorname{supp}\varphi \subseteq K_{3\delta/2} \subseteq U$ : وحاملها متراص (لأن $K_\delta$ محدودة). وأما تجزئة الوحدة: فبإعطاء $K \subseteq U_1\cup\dots\cup U_m$ ، نختار (بالتراص) متراصات $K_i \subseteq U_i$ تحقق $K \subseteq \bigcup \mathring K_i$ ، ونأخذ $\varphi_i$ كما سبق من أجل $(K_i, U_i)$ ، ونضع $\psi_i = \varphi_i\prod_{j <i}(1 - \varphi_j)$ : فتكون كل $\psi_i \in \mathcal C_c^\infty(U_i)$ ، ويكون $\sum_i\psi_i = 1 - \prod_i(1 - \varphi_i) = 1$ على $K$ .

تمرين 12.9 ★★

باستعمال الاستيفاء (القضية 12.12(c)): (a) برهن على أن $L^1(\R)\cap L^\infty(\R) \subseteq L^p(\R)$ من أجل كل $p$ ، مع $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ ؛ (b) برهن على أن $f \mapsto \norm f_p$ ، من أجل $f$ مثبَّتة، محدّبةٌ لوغاريتميًا في $\frac1p$ ، وأعطِ مثالًا يكون فيه $f \in L^p$ من أجل $p$ في فترة معطاة $(p_0, p_1)$ بالضبط.

حل

حل التمرين 12.9.

(a) أُسّ الاستيفاء الموافق للثلاثي $(p_0, q_0) = (1, \infty)$ عند $r = p$ هو $\alpha = \frac1p$ : فتعطي القضية 12.12(c) أن $\norm f_p \leq \norm f_1^{1/p}\norm f_\infty^{1 - 1/p}$ .

(b) بأخذ اللوغاريتمات في القضية 12.12(c): $\ln\norm f_r \leq \alpha\ln\norm f_p + (1-\alpha)\ln\norm f_q$ حيث يكون $\frac1r$ التركيبةَ المحدّبة نفسها للمقدارين $\frac1p, \frac1q$ : ومنه $\frac1p \mapsto \ln\norm f_p$ محدّبة. ومثال يقع فيه الانتماء إلى $L^p$ على $\intoo{p_0}{p_1}$ بالضبط:

f(x) = x^{-1/p_1}\,\mathbf 1_{\intoo01}(x) + x^{-1/p_0}\,\mathbf 1_{\intco1\infty}(x):

فالحدّ الأول في $L^p$ إذا وفقط إذا كان $p < p_1$ ، والثاني إذا وفقط إذا كان $p > p_0$ .

تمرين 12.10 ★★

(ينسن) ليكن $\mu$ قياسًا احتماليًّا، ولتكن $f \in L^1(\mu)$ حقيقية، ولتكن $\Phi \colon \R \to \R$ محدّبة. برهن على

\Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr) \leq \int \Phi\circ f\,\dd\mu

(بمستقيم الإسناد للدالة $\Phi$ عند النقطة $m = \int f$ ). واستنتج متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي، ورتابةَ المقدار $p \mapsto \norm f_p$ في التمرين 12.1(b).

حل

حل التمرين 12.10.

ليكن $m = \int f\,\dd\mu \in \R$ . يوفّر التحدّب مستقيمَ إسناد عند $m$ : أي يوجد $s$ يحقق $\Phi(t) \geq \Phi(m) + s(t - m)$ من أجل كل $t$ (بأخذ $s$ بين المشتقتين من الجانبين، وهما موجودتان من أجل الدوال المحدّبة). ثم نعوّض $t = f(x)$ ونكامل بالنسبة إلى القياس الاحتمالي $\mu$ :

\int\Phi\circ f\,\dd\mu \geq \Phi(m) + s\Bigl(\int f - m\Bigr) = \Phi\Bigl(\int f\,\dd\mu\Bigr)

(وأما القابلية للقياس: فلأن $\Phi$ متصلة؛ وأما قابلية الجزء السالب من $\Phi\circ f$ للمكاملة فيضمنها مستقيم الإسناد). وأما متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي: فعلى مجموعة منتهية بأوزان $w_i$ ، نأخذ $\Phi = \exp$ و $f = \sum(\ln a_i)\mathbf 1_i$ : $\exp\bigl(\sum w_i\ln a_i\bigr) \leq \sum w_ia_i$ ، أي $\prod a_i^{w_i} \leq \sum w_ia_i$ . وأما رتابة المعيار فهي التمرين 12.1(b).

تمرين 12.11 ★★★

(متراجحة يونغ للالتفاف) ليكن $1 \leq p, q, r \leq \infty$ مع $\frac1p + \frac1q = 1 + \frac1r$ ، وليكن $f \in L^p(\R^d)$ و $g \in L^q(\R^d)$ . (a) برهن على $\norm{f * g}_r \leq \norm f_p\,\norm g_q$ . (اكتب، من أجل الأُسّين المترافقين المستخرجين من $p, q, r$ ، $\abs{f(y)g(x-y)} = \bigl(\abs f^p\abs g^q\bigr)^{1/r} \cdot\abs f^{\,p(1/p - 1/r)}\cdot\abs g^{\,q(1/q - 1/r)},$ وطبّق متراجحة هولدر ذات العوامل الثلاثة بالأُسس $r$ و $\frac{pr}{r - p}$ و $\frac{qr}{r - q}$ ؛ ثم كامل في $x$ بتونيلي.) (b) تحقق من الحالات الخاصة الثلاث المعروفة سلفًا: $r = \infty$ (هولدر، التمرين 12.6)؛ و $q = 1$ (أي استقرار $L^p$ بالالتفاف مع نواة قابلة للمكاملة)؛ و $p = q = 1$ (أي إن $L^1$ جبرٌ التفافي، المبرهنة 11.9). (c) ولماذا لا توجد متراجحة مع $\frac1p + \frac1q < 1 + \frac1r$ ؟ (اختبر على التمدّدات $f_\lambda(x) = f(\lambda x)$ وقارن تحجيم الطرفين.)

حل

حل التمرين 12.11.

(a) نفترض أولًا أن $p, q, r < \infty$ وأن $f, g \geq 0$ (وإلا استعضنا بالقيم المطلقة). تحقق الأُسس الثلاثة $r$ و $\alpha = \frac{pr}{r-p}$ و $\beta = \frac{qr}{r-q}$ أن $\frac1r + \frac1\alpha + \frac1\beta = \frac1r + \frac1p - \frac1r + \frac1q - \frac1r = 1$ (أي علاقة التحجيم). ثم نشطر، من أجل $x$ مثبَّت،

f(y)g(x-y) = \bigl[f(y)^pg(x-y)^q\bigr]^{1/r}\cdot f(y)^{1 - p/r}\cdot g(x-y)^{1 - q/r},

وتعطي هولدر بالأُسس الثلاثة أن

(f*g)(x) \leq \Bigl(\int f^pg(x-\cdot)^q\Bigr)^{1/r} \norm f_p^{\,p/\alpha\cdot\alpha/p}\cdots

وبمزيد من الدقة: العامل الثاني هو $\bigl(\int f^{(1-p/r)\alpha}\bigr)^{1/\alpha} = \norm f_p^{p(1/p - 1/r)}$ لأن $(1 - \frac pr)\alpha = p$ ، وبالمثل العامل الثالث هو $\norm g_q^{q(1/q - 1/r)}$ . ثم نرفع إلى القوة $r$ ونكامل في $x$ (بتونيلي على العامل الأول):

\norm{f*g}_r^r \leq \norm f_p^p\,\norm g_q^q\cdot \norm f_p^{\,rp(1/p - 1/r)}\,\norm g_q^{\,rq(1/q - 1/r)} = \norm f_p^r\,\norm g_q^r .

وأما الحالات الحدّية ( $r = \infty$ أو أن يساوي أحد الأُسس حدّه) فهي هولدر صرفة أو تقديرات مباشرة.

(b) الحالة $r = \infty$ تفرض $q = p'$ : $\abs{f*g(x)} \leq \norm f_p\norm g_{p'}$ — أي هولدر بعد الانسحاب والانعكاس. والحالة $q = 1$ تعطي $r = p$ : $\norm{f*g}_p \leq \norm g_1\norm f_p$ ، وهي حصان التمليف (أي محرّك المبرهنة 12.9). والحالة $p = q = 1$ تعطي $r = 1$ : أي الجبر الالتفافي (المبرهنة 11.9).

(c) نستعيض عن $f, g$ بالدالتين $f_\lambda = f(\lambda\cdot)$ و $g_\lambda = g(\lambda\cdot)$ : عندئذٍ $f_\lambda*g_\lambda = \lambda^{-d}(f*g)(\lambda\cdot)$ ، وبمقارنة النظائم،

\text{الطرف الأيسر} \sim \lambda^{-d - d/r}, \qquad \text{الطرف الأيمن} \sim \lambda^{-d/p - d/q} :

فمتراجحة صحيحة من أجل كل $f, g$ تفرض توافق أُسّي التحجيم، أي $1 + \frac1r = \frac1p + \frac1q$ بالضبط. وأي تركيبة أخرى تموت عند $\lambda \to 0$ أو $\infty$ : فعلاقة يونغ ليست تسهيلًا بل قانون تحجيم.

تمرين 12.12 ★★

(حالات التساوي) (a) في متراجحة هولدر $\int\abs{fg} \leq \norm f_p\norm g_q$ (حيث $1 < p < \infty$ )، برهن على أن التساوي يقع إذا وفقط إذا كان $\abs f^p$ و $\abs g^q$ متناسبين في كل مكان تقريبًا. (بتتبّع حالة التساوي في متراجحة يونغ $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ ، وهي $a^p = b^q$ .) (b) وفي متراجحة مينكوفسكي $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ (حيث $1 < p < \infty$ )، برهن على أن التساوي مع $f, g \neq 0$ يفرض $g = cf$ في كل مكان تقريبًا مع $c > 0$ . (c) وقابل ذلك بالحالتين $p = 1$ و $p = \infty$ : صف حالات التساوي (الأوسع بكثير) هناك، على أمثلة.

حل

حل التمرين 12.12.

(a) نعيِّر $\norm f_p = \norm g_q = 1$ . يكامل برهان هولدر متراجحةَ يونغ $\abs{fg} \leq \frac{\abs f^p}p + \frac{\abs g^q}q$ ؛ ويفرض تساوي التكاملين تساويًا في كل مكان تقريبًا في يونغ، وهو يعني (بالتحدّب الأكيد للدالة $\exp$ ؛ إذ التساوي يقع إذا وفقط إذا كان $a^p = b^q$ ) أن $\abs f^p = \abs g^q$ في كل مكان تقريبًا. وبالرجوع عن التعيير: $\abs f^p\norm g_q^q = \abs g^q\norm f_p^p$ في كل مكان تقريبًا — أي التناسب.

(b) مينكوفسكي تطبيقان لهولدر على $\abs{f + g}^{p-1} \abs f$ و $\abs{f+g}^{p-1}\abs g$ ؛ ويفرض التساوي تناسبَ (a) في كليهما: أي إن $\abs f^p$ و $\abs g^p$ يتناسب كلٌّ منهما مع $\abs{f+g}^{(p-1)q} = \abs{f+g}^p$ ، ومنه $\abs g = t\abs f$ في كل مكان تقريبًا من أجل ثابت $t \geq 0$ ؛ كما يجب أن تكون متراجحة المثلث النقطية الأولى $\abs{f + g} \leq \abs f + \abs g$ تساويًا في كل مكان تقريبًا أيضًا، وهو يعني في الحالة العقدية أن للدالتين $f$ و $g$ العمدةَ نفسها في كل مكان تقريبًا حيث لا تنعدمان. وبالضمّ: $g = tf$ في كل مكان تقريبًا مع $t > 0$ (إذ كلتاهما غير معدومة).

(c) الحالة $p = 1$ : يقع التساوي في $\int\abs{f + g} = \int\abs f + \int\abs g$ كلما كان للدالتين $f, g$ نسق الإشارة نفسه (أي العمدة نفسها في كل مكان تقريبًا) — دون حاجة إلى أي تناسب: فتصلح $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ و $g = \mathbf 1_{\intcc02}$ . والحالة $p = \infty$ : يقع $\norm{f+g}_\infty = \norm f_\infty + \norm g_\infty$ بمجرد أن تبلغ الدالتان ذروتيهما توافقيًّا عند نقطة مشتركة (أو على امتداد متتالية مشتركة): إذ يكفي أن تكون $f = g\,$ بجوار نقطة واحدة أيًّا كان سلوكهما في غيرها. والتحدّب الأكيد لكرات $L^p$ من أجل $1 < p < \infty$ — وإخفاقه عند الطرفين — هو بالضبط ما تشهد به حالات التساوي هذه.

12.7 مسألة: متراجحة هاردي

مسألة 12.1

مسألة نهاية الأسبوع — متراجحة هاردي وثابتها الأمثل

من أجل $f \in L^p(\intoo0{+\infty})$ حيث $1 < p < \infty$ ، نعرّف مؤثر هاردي

(Hf)(x) = \frac1x\int_0^x f(t)\,\dd t .

وتؤكد متراجحة هاردي (1920) أن

\norm{Hf}_p \;\leq\; \frac{p}{p-1}\,\norm f_p ,

وأن الثابت $\frac p{p-1}$ أمثلي وغير مبلوغ. وتبرهن هذه المسألة على كل ذلك، ثم تمدّده إلى المتسلسلات.

الجزء الأول — المتراجحة. نفترض أولًا أن $f \geq 0$ متصلة ذات حامل متراص في $\intoo0{+\infty}$ ، ولتكن $F(x) = \int_0^xf$ .

برهن على أن $Hf \in L^p$ : فبجوار $0$ تنعدم $F$ على جوار للصفر؛ وبجوار $\infty$ تكون $F$ محدودة، ومنه $(Hf)(x) = O(1/x)$ ، وينتمي $x \mapsto \frac1x$ إلى $L^p(\intoo1{+\infty})$ من أجل $p > 1$ .
كامل بالتجزئة لتبرهن على

$\int_0^\infty \Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x = \frac{p}{p-1}\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x .$

(اشتقّ $x^{1-p}F^p$ ؛ وتنعدم الحدود الحدّية — وبرّر ذلك عند الطرفين.)
طبّق هولدر على الطرف الأيمن واستنتج $\norm{Hf}_p \leq \frac p{p-1}\norm f_p$ من أجل هذه $f$ .
مدّد إلى $L^p$ كله: من أجل $f \geq 0$ ، أنشئ $f_n$ متصلة ذات حامل متراص في $\intoo0{+\infty}$ ، مع $0 \leq f_n \nearrow f$ في كل مكان تقريبًا (ابتر، ثم قرّب رتيبًا — وبرّر البناء)؛ عندئذٍ $Hf_n \nearrow Hf$ نقطةً نقطة (بمبرهنة التقارب الرتيب داخل المتوسط) وتنقل مبرهنة التقارب الرتيب المتراجحةَ إلى النهاية. وأما من أجل $f$ ذات إشارة أو عقدية، فاخلص بواسطة $\abs{Hf} \leq H\abs f$ .

الجزء الثاني — الأمثلية.

من أجل $A > 1$ لتكن $f_A(t) = t^{-1/p}\,\mathbf 1_{\intcc1A}(t)$ . احسب $\norm{f_A}_p^p = \ln A$ ، ومن أجل $1 \leq x \leq A$ ،

$(Hf_A)(x) = \frac p{p-1}\;x^{-1/p}\, \bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).$
استنتج $\liminf_{A\to\infty} \norm{Hf_A}_p/ \norm{f_A}_p \geq \frac{p}{p-1}$ ، واخلص إلى أن الثابت أمثلي.
برهن على أن التساوي $\norm{Hf}_p = \frac p{p-1}\norm f_p$ مع $f \neq 0$ مستحيل. (بتتبّع حالة التساوي في هولدر في السؤال 3: فهي تفرض سلوكًا من نمط $f = cx^{-1/p}$ ، وهو ليس في $L^p$ .)

الجزء الثالث — المتراجحة المتقطّعة.

من أجل $g \geq 0$ متناقصة بالمعنى الواسع على $(0,\infty)$ ومن أجل $a_n = g(n)$ ، قارن $\sum a_n^p$ بالمقدار $\int g^p$ ، وقارن متوسطات $H$ تبعًا لذلك، لتستنتج من الجزء الأول متراجحة هاردي المتقطّعة: من أجل $a_n \geq 0$ ،

$\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}{n}\Bigr)^{p} \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p-1}\Bigr)^{p}\,\sum_{n\geq1}a_n^p$

— وبرهن عليها أولًا من أجل $(a_n)$ المتناقصة بالمعنى الواسع عبر المقارنة أعلاه، ثم أرجع الحالة العامة إلى المتناقصة بإعادة الترتيب (وسلّم، مع تبرير من سطر واحد، بأن ترتيب $(a_n)$ تنازليًّا لا يمكن إلا أن يزيد الطرف الأيسر مع إبقاء الأيمن على حاله).
استنتج: أنه إذا كان $\sum a_n^p < \infty$ فإن متوسطات تشيزارو للمتتالية $(a_n)$ تنتمي بدورها إلى $\ell^p$ — وأعطِ مثالًا (حيث $p = 2$ ) يكون فيه $(a_n) \in \ell^2$ دون أن تكون $a_n$ قابلة للجمع، ومع ذلك تظل هاردي تتحكم في المتوسطات.

الجزء الرابع — خاتمة.

برهن على أن متراجحة هاردي تخفق من أجل $p = 1$ : فمع $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ ، احسب $Hf$ ولاحظ أن $Hf \notin L^1$ . وأين ينكسر البرهان؟

الجزء الخامس — الدالة العظمى، ومبرهنة لوبيغ في الاشتقاق. تأخذ هاردي المتوسطات انطلاقًا من المبدأ؛ أما هاردي–ليتلوود فيأخذانها حول كل نقطة. من أجل $f \in L^1(\R)$ نعرّف

Mf(x) = \sup_{r>0}\ \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f\,\dd\lambda .

(فيتالي، الصيغة المنتهية) لتكن $B_1, \dots, B_N$ فترات مفتوحة. برهن على وجود عائلة جزئية منفصلة $B_{i_1}, \dots, B_{i_k}$ تحقق $\bigcup_jB_j \subseteq \bigcup_l3B_{i_l}$ ، حيث يرمز $3B$ إلى الفترة ذات المركز نفسه وثلاثة أمثال الطول (بالجشع: اختر تكرارًا أطول فترة منفصلة عن المختارة سلفًا).
(النمط الضعيف $(1,1)$ ) برهن على أنه من أجل كل $t > 0$ ،

$\lambda\bigl(\{Mf > t\}\bigr) \;\leq\; \frac3t\,\norm f_1 :$

فكل $x$ يحقق $Mf(x) > t$ يملك فترةً مركزيةً $B_x$ تحقق $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ ؛ خذ متراصة $K \subseteq \{Mf > t\}$ (بالانتظام الداخلي)، وغطّها بعدد منتهٍ من الفترات $B_x$ ، وطبّق السؤال 11، ثم استنفد.
احسب $M\mathbf 1_{\intcc01}(x)$ من أجل $x > 1$ واستنتج أن $Mf \notin L^1$ من أجل كل $f \neq 0$ (لأن $Mf(x) \geq \frac c{\abs x}$ عند اللانهاية): أي إن المتراجحة الضعيفة في السؤال 12 هي، عند $p = 1$ ، أفضل عبارة ممكنة.
(النمط القوي من أجل $p > 1$ ) من أجل $f \in L^p$ : اشطر $f = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2} + f\,\mathbf 1_{\abs f \leq t/2}$ ، ولاحظ $Mf \leq M\bigl(f\mathbf 1_{\abs f > t/2}\bigr) + \frac t2$ ، واجمع السؤال 12 مع صيغة كعكة الطبقات (القضية 11.8) وتونيلي لتبرهن على

$\norm{Mf}_p^p \;\leq\; \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .$

(والانفجار حين $p \downarrow 1$ هو إخفاق السؤال 13، مكمَّمًا.)
(مبرهنة لوبيغ في الاشتقاق) برهن على أنه من أجل $f \in L^1(\R)$ ،

$\frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f\,\dd\lambda \;\longrightarrow\; f(x) \qquad (r \to 0)\quad\text{في كل مكان تقريبًا من أجل}x .$

(وهذا واضح من أجل $f$ متصلة. وأما في الحالة العامة فاكتب $f = g + h$ ، حيث $g$ متصلة ذات حامل متراص، مع $\norm h_1 < \varepsilon$ (المبرهنة 12.6)؛ فتقع المجموعة التي يتجاوز فيها $\limsup_{r\to0}$ للتذبذب الممتوسط العددَ $\delta$ داخل $\{Mh > \delta/2\} \cup \{\abs h > \delta/2\}$ ، وقياسها $O(\varepsilon/\delta)$ ؛ ثم اجعل $\varepsilon \to 0$ ، ثم $\delta \to 0$ على امتداد متتالية.)
استنتج: (a) أن كل نقطة تقريبًا نقطة لوبيغ للدالة $f$ ؛ (b) وأنه من أجل $f \in L^1$ ، تكون الدالة الأصلية $F(x) = \int_0^xf$ قابلة للاشتقاق في كل مكان تقريبًا مع $F' = f$ في كل مكان تقريبًا — أي النصف التكاملي للمبرهنة الأساسية في التفاضل والتكامل في عالم لوبيغ، فتُغلق بذلك الدائرة التي فتحها السلّم (المسألة 9.1)، إذ بيّن أن النصف العكسي قد يخفق.
(نقاط الكثافة) من أجل $A \subseteq \R$ قابلة للقياس، برهن على أن كل $x \in A$ تقريبًا يحقق $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ : أي إن المجموعات القابلة للقياس ممتلئة محليًّا عند كل نقاطها تقريبًا. واشرح، في سطرين، كيف يعطي هذا برهانًا آخر على مبرهنة شتاينهاوس (التمرين 9.8).

الجزء السادس — تنويعات على موضوع المتوسطات.

(هاردي الموزونة) من أجل $\alpha < p - 1$ ومن أجل $f \geq 0$ ، برهن على

$\int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^{p} x^{\alpha}\,\dd x \;\leq\; \Bigl(\frac{p}{p - 1 - \alpha}\Bigr)^{p} \int_0^\infty f(x)^p\,x^{\alpha}\,\dd x$

بالمكاملة بالتجزئة نفسها، وتحقق من أن الحالة الحدّية $\alpha = p - 1$ ممنوعة فعلًا (بتكييف المثال المضاد في السؤال 10).
(المؤثر المرافق) ليكن $H^*f(x) = \int_x^{\infty}\frac{f(t)}t\,\dd t$ . برهن على $\langle Hf, g\rangle = \langle f, H^*g\rangle$ من أجل $f, g$ غير سالبتين (بتونيلي)، وبرهن على $\norm{H^*f}_p \leq p\,\norm f_p$ (مباشرةً بالتجزئة، أو من هاردي على الأُسّ المرافق بالثنوية — وانتبه إلى أي أُسّ يلتقط أي ثابت).
(متراجحة من نمط هيلبرت) استنتج أنه من أجل $f \in L^p$ و $g \in L^q$ غير سالبتين:

$\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty \frac{f(x)\,g(y)}{\max(x,y)}\,\dd x\,\dd y \;\leq\; (p + q)\,\norm f_p\,\norm g_q$

(بالشطر على امتداد $y < x$ و $y \geq x$ : فكل نصف اقترانٌ لإحدى الدالتين مع تحويل هاردي للأخرى).
(الأمثلية، الحالة المتقطّعة) برهن على أن الثابت $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ في السؤال 8 أمثلي أيضًا: اختبر على $a_n = n^{-1/p}\,\mathbf 1_{n \leq N}$ ، وقارن الطرفين بالتكاملات، ثم اجعل $N \to \infty$ (أي مرآة الجزء الثاني في الحالة المتقطّعة).
(تركيب) ظهرت في هذه المسألة ثلاثة مؤثرات متوسطات: مؤثر هاردي $H$ ، ومتوسط تشيزارو المتقطّع، والمؤثر الأعظم $M$ . صُغ في سطر واحد لكلٍّ منها ما يقوله كونه محدودًا، ولاحظ أن الثلاثة تخفق جميعًا عند $p = 1$ بالضبط، واشرح لماذا هو الإخفاق نفسه ثلاث مرات (أي الذيل التوافقي $\frac1x$ ).

الجزء السابع — متراجحة كارلمان، وكم يبلغ «الأمثل» من مضاء.

(متراجحة كارلمان) ليكن $a_n \geq 0$ مع $\sum a_n < \infty$ . طبّق متراجحة هاردي المتقطّعة في السؤال 8 على $b_n = a_n^{1/p}$ ، واستعمل متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي، ثم اجعل $p \to \infty$ (وبرهن على أن $p \mapsto \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ تتناقص إلى $\eu$ ) لتحصل على

$\sum_{n\geq1}\bigl(a_1a_2\cdots a_n\bigr)^{1/n} \;\leq\; \eu\,\sum_{n\geq1}a_n :$

أي إن المتوسطات الهندسية لمتتالية قابلة للجمع قابلةٌ للجمع، بكلفة لا تتجاوز $\eu$ .
(الثابت $\eu$ أمثلي) اختبر على $a_n = \frac1n\,\mathbf 1_{n\leq N}$ : باستعمال حصر ستيرلنغ في المسألة 11.1، برهن على $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n\bigl(1 + O\bigl(\frac{\ln n}n\bigr)\bigr)$ ، واستنتج أن طرفي كارلمان ينموان مثل $\eu\ln N$ ، واخلص إلى أنه لا يصلح أي ثابت أصغر من $\eu$ . (ولاحظ النسق: فأمثِلات هاردي وكارلمان كلتاهما متتاليات من النمط التوافقي تكاد تنتمي إلى الفضاء دون أن تنتمي إليه.)
(كم يبطؤ بلوغ «الأمثل»؟) خذ $p = 2$ . من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ ، احسب $\norm{Hf}_2/\norm f_2 = \sqrt2$ ، مقابل الحدّ $2$ . ومن أجل الأمثِلات التقريبية $f_A$ في السؤال 5، برهن على المتطابقة المضبوطة

$\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + \frac{8}{\sqrt A}, \qquad\text{ومنه}\qquad \frac{\norm{Hf_A}_2^2}{\norm{f_A}_2^2} = 4 - \frac{8 - 8A^{-1/2}}{\ln A} .$

وقيّمها عند $A = \eu^{10}$ (فتكون النسبة $\approx 1.790$ ) وعلّق: فالسوپريموم $2$ لا يُبلَغ إلا بسرعة $1/\ln A$ — ومن ثَمّ قد يكون الثابت الأمثل شبه غير مرئي عدديًّا.

حل

حل المسألة 12.1.

1. للدالة $f$ حاملٌ في فترة ما $[\alpha, \beta] \subseteq \intoo0\infty$ ، ومنه $F = 0$ على $[0, \alpha]$ و $F \equiv F(\beta)$ على $[\beta, \infty)$ : فتنعدم $Hf$ بجوار $0$ وتكون من رتبة $O(1/x)$ عند اللانهاية؛ ويكون $\int_1^\infty x^{-p}\dd x < \infty$ من أجل $p > 1$ ، و $Hf$ متصلة: ومنه $Hf \in L^p$ .

2. $\bigl(x^{1-p}F(x)^p\bigr)' = (1-p)x^{-p}F^p + p\,x^{1-p}F^{p-1}f$ . وتنعدم القيمتان الحدّيتان: عند $0$ لأن $F = 0$ بجوار $0$ ؛ وعند $\infty$ لأن $x^{1-p}F^p \leq F(\beta)^p x^{1-p} \to 0$ (حيث $p > 1$ ). وبمكاملة المتطابقة على $\intoo0\infty$ :

0 = (1 - p)\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^p\dd x + p\int_0^\infty\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f(x)\,\dd x,

وهي العلاقة المعروضة.

3. هولدر بالأُسّين $q = \frac p{p-1}$ و $p$ :

\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f \leq \Bigl(\int\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p}\Bigr)^{1 - 1/p}\,\norm f_p ,

ومنه $\norm{Hf}_p^p \leq \frac p{p-1}\norm{Hf}_p^{p-1}\norm f_p$ ؛ ثم نقسم (والمقدار منتهٍ حسب السؤال 1، وإن كان $0$ فلا شيء نبرهن عليه).

4. ليكن $f \in L^p$ مع $f \geq 0$ . نختار $\varphi_k \in \mathcal C_c(\intoo0\infty)$ تحقق $\varphi_k \to f$ في $L^p$ (المبرهنة 12.6(2)، مقاطعةً مع نصف المستقيم المفتوح — بتقريب $f\mathbf 1_{[1/k, k]}$ ثم بالتقطير)، ونستعيض عن $\varphi_k$ بالمقدار $\abs{\varphi_k}$ (وهو لا يزال متصلًا، وأقرب إلى $f \geq 0$ ). ومن أجل كل $x > 0$ مثبَّت، تعطي هولدر على $\intoo0x$ أن

\abs{H\varphi_k(x) - Hf(x)} \leq \frac1x\,x^{1 - 1/p}\,\norm{\varphi_k - f}_p \to 0 :

أي $H\varphi_k \to Hf$ نقطةً نقطة. وبفاتو وبالسؤال 3:

\int (Hf)^p \leq \liminf_k\int(H\varphi_k)^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\liminf_k\norm{\varphi_k}_p^p = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\norm f_p^p .

وأما من أجل $f$ ذات إشارة أو عقدية: فإن $\abs{Hf} \leq H\abs f$ نقطةً نقطة، وتنطبق الحالة غير السالبة على $\abs f$ .

5. $\norm{f_A}_p^p = \int_1^A t^{-1}\dd t = \ln A$ . ومن أجل $1 \leq x \leq A$ :

(Hf_A)(x) = \frac1x\int_1^x t^{-1/p}\dd t = \frac{x^{1 - 1/p} - 1}{(1 - \tfrac1p)\,x} = \frac p{p-1}\,x^{-1/p}\bigl(1 - x^{-(1 - 1/p)}\bigr).

6. نثبّت $\varepsilon > 0$ و $X_0$ بحيث يكون $(1 - x^{-(1-1/p)})^p \geq 1 - \varepsilon$ من أجل $x \geq X_0$ . عندئذٍ

\norm{Hf_A}_p^p \geq \int_{X_0}^A\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\frac{1 - \varepsilon}{x}\,\dd x = \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p(1 - \varepsilon)\,(\ln A - \ln X_0),

ومنه $\dfrac{\norm{Hf_A}_p^p}{\norm{f_A}_p^p} \geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)\bigl(1 - \frac{\ln X_0}{\ln A}\bigr) \to \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \varepsilon)$ حين $A \to \infty$ : فالثابت غير قابل للتحسين.

7. يفرض التساوي في السؤال 3 تساويًا في هولدر: أي أن يتناسب $f^p$ مع $\bigl(\frac Fx\bigr)^{(p-1)q} = \bigl(\frac Fx\bigr)^p$ في كل مكان تقريبًا، أي $f = \gamma\,\frac Fx$ في كل مكان تقريبًا من أجل $\gamma \geq 0$ ما. وبما أن $F(x) = \int_0^xf$ متصلة اتصالًا مطلقًا مع $F' = f$ في كل مكان تقريبًا، فإن $F$ تحل $F' = \gamma F/x$ : فعلى أي فترة تكون فيها $F > 0$ ، يكون $(\ln F)' = \gamma/x$ ، ومنه $F = c\,x^{\gamma}$ و $f = c\gamma x^{\gamma - 1}$ هناك. لكن لا تنتمي أي قوة غير معدومة $x^{\gamma-1}$ إلى $L^p(\intoo0\infty)$ (إذ يلزم $p(\gamma - 1) < -1$ عند $\infty$ و $> -1$ عند $0$ : وهما متنافيان)، ولا يمكن أن تنعدم $F$ انعدامًا تامًّا إلا إذا كان $f = 0$ . ومنه يقتضي التساوي أن $f = 0$ .

8. بإعطاء $(a_n)$ متناقصة بالمعنى الواسع وغير سالبة $\geq 0$ ، نعرّف الدالة السلّمية $g(t) = a_{\lceil t\rceil}$ على $\intoo0{+\infty}$ : فهي متناقصة بالمعنى الواسع، مع $\int_0^\infty g^p = \sum_na_n^p$ و $\int_0^ng = a_1 + \dots + a_n$ ، ومنه $(Hg)(n) = \frac{a_1 + \dots + a_n}n$ . ومتوسط دالة متناقصة بالمعنى الواسع متناقص بالمعنى الواسع، ومنه كذلك $Hg$ ، و

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{a_1{+}\dots{+}a_n}n\Bigr)^p = \sum_{n\geq1}(Hg)(n)^p \leq \sum_{n\geq1}\int_{n-1}^n (Hg)(t)^p\,\dd t = \norm{Hg}_p^p \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^p\sum_n a_n^p

حسب الجزء الأول. وأما من أجل متتالية غير سالبة عامة، فلتكن $(a_n^*)$ إعادةَ ترتيبها المتناقصة بالمعنى الواسع (وهي ممكنة حين $a_n \to 0$ ، ولنا أن نفترض ذلك — وإلا فالطرفان لانهائيان): فلا يتغيّر الطرف الأيمن، ويكون كل مجموع جزئي $a_1 + \dots + a_n$ أصغر من أو يساوي $a_1^* + \dots + a_n^*$ (أي الحدود الكبرى $n$ ): ومنه لا يزيد الطرف الأيسر إلا نموًّا. فتصح المتراجحة إذًا من أجل كل $(a_n)$ .

9. إذا كان $(a_n) \in \ell^p$ ، فإن متتالية متوسطات تشيزارو في $\ell^p$ بمعيار $\leq \frac p{p-1}\norm a_p$ . ومثال (حيث $p = 2$ ): $a_n = \frac1{\sqrt n\,\ln n}$ (أي $n \geq 2$ ): فيكون $\sum a_n^2 = \sum\frac1{n\ln^2n} < \infty$ ، ومع ذلك $\sum a_n = \infty$ (باختبار التكامل)؛ ومع ذلك تظل هاردي تضمن $\sum_n\bigl(\frac{a_1 + \dots + a_n}n\bigr)^2 < \infty$ .

10. من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : يكون $Hf(x) = 1$ على $\intoc01$ و $= \frac1x$ من أجل $x \geq 1$ : ومنه $\int_0^\infty Hf = 1 + \int_1^\infty\frac{\dd x}x = \infty$ ، بينما $\norm f_1 = 1$ . وينهار البرهان عند نقطتين: إذ ينفجر الثابت $\frac p{p-1}$ حين $p \to 1$ ، ولم يعد الحدّ الحدّي $x^{1-p}F^p$ ينعدم عند اللانهاية من أجل $p = 1$ . فمتراجحة هاردي ظاهرة صادقة من ظواهر $p > 1$ .

11. نختار أطول فترة $B_{i_1}$ ؛ ونطرح كل فترة تقاطعها؛ ثم نختار أطول ناجٍ $B_{i_2}$ ؛ ونكرّر (والفترات منتهية العدد). فتكون المختارة منفصلة بحكم البناء، وكل فترة $B$ مطروحة قد قاطعت فترةً مختارةً لا تقلّ عنها طولًا: وفترةٌ تقاطع فترةً أطول منها أو مساويةً لها محتواةٌ في ثلاثة أمثالها، $B \subseteq 3B_{i_l}$ .

12. المجموعة $\{Mf > t\}$ مفتوحة: إذ كل متوسط $x \mapsto \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}\abs f$ متصل (بالتقارب المهيمن في $x$ )، وسوپريموم دوال متصلة نصفُ متصل من الأسفل. وكل $x$ فيها يملك $B_x = \intoo{x-r_x}{x+r_x}$ يحقق $\int_{B_x}\abs f > t\,\lambda(B_x)$ . ومن أجل متراصة $K \subseteq \{Mf > t\}$ : يغطّي $K$ عددٌ منتهٍ من الفترات $B_x$ ، وتستخرج فيتالي (السؤال 11) فترات منفصلة $B_1', \dots, B_k'$ تحقق $K \subseteq \bigcup_l3B_l'$ ، ومنه

\lambda(K) \leq 3\sum_l\lambda(B_l') < \frac3t\sum_l\int_{B_l'}\abs f \leq \frac3t\,\norm f_1

بالانفصال؛ ويخلص الانتظام الداخلي (المبرهنة 9.13) إلى النتيجة.

13. من أجل $x > 1$ : مع $r \in \intcc{x-1}x$ ، يكون المتوسط $\frac{r - x + 1}{2r}$ ، وهو متزايد في $r$ ؛ ومن أجل $r \geq x$ يكون $\frac1{2r}$ ، وهو متناقص: فالسوپريموم هو $\frac1{2x}$ ، وهو مبلوغ عند $r = x$ . ومنه $M\mathbf 1_{\intcc01} \notin L^1$ . وعمومًا، إذا كان $\int_I\abs f = c > 0$ على فترة محدودة $I \subseteq \intcc{-C}C$ ، فإن $Mf(x) \geq \frac{c}{2(\abs x + C)}$ من أجل كل $x$ : فلا تكون قابلة للمكاملة أبدًا إلا إذا كان $f = 0$ في كل مكان تقريبًا.

14. مع $f_t = f\,\mathbf 1_{\abs f > t/2}$ : $M(f - f_t) \leq \frac t2$ ، ومنه $\{Mf > t\} \subseteq \{Mf_t > \frac t2\}$ ، ويعطي السؤال 12 أن $\lambda(Mf > t) \leq \frac6t\int_{\abs f > t/2}\abs f$ . وبكعكة الطبقات (القضية 11.8) وتونيلي:

\norm{Mf}_p^p = p\int_0^\infty t^{p-1}\lambda(Mf > t)\dd t \leq 6p\int\abs f\int_0^{2\abs f}t^{p-2}\,\dd t\,\dd\lambda = \frac{6p\,2^{p-1}}{p-1}\,\norm f_p^p .

15. نكتب $A_rf(x) = \frac1{2r}\int_{x-r}^{x+r}f$ . ومن أجل $g$ متصلة: $A_rg(x) \to g(x)$ في كل مكان. وبإعطاء $\varepsilon > 0$ ، نشطر $f = g + h$ حيث $g$ متصلة ذات حامل متراص و $\norm h_1 < \varepsilon$ (المبرهنة 12.6)؛ عندئذٍ

\limsup_{r\to0}\,\abs{A_rf(x) - f(x)} \leq Mh(x) + \abs{h(x)},

ومنه يكون قياس $\Omega_\delta = \{\limsup_r\abs{A_rf - f} > \delta\} \subseteq \{Mh > \tfrac\delta2\} \cup \{\abs h > \tfrac\delta2\}$ أصغر من أو يساوي $\leq \frac{6\varepsilon}\delta + \frac{2\varepsilon}\delta$ (بالسؤال 12؛ وبماركوف). و $\varepsilon$ كيفما اتفق: $\lambda(\Omega_\delta) = 0$ ؛ وبالاتحاد على $\delta = \frac1k$ : يكون $A_rf \to f$ في كل مكان تقريبًا.

16. (a) من أجل كل $q \in \Q$ ، يعطي السؤال 15 مطبَّقًا على $\abs{f - q}$ أن $A_r\abs{f - q}(x) \to \abs{f(x) - q}$ في كل مكان تقريبًا؛ وعلى تقاطع هذه المجموعات التامة القياس، نختار $q$ يحقق $\abs{f(x) - q} < \eta$ : فيكون $\limsup_rA_r\abs{f - f(x)}(x) \leq 2\eta$ من أجل كل $\eta$ : أي إن كل نقطة تقريبًا نقطةُ لوبيغ. (b) وعند نقطة لوبيغ،

\Bigl|\frac{F(x + h) - F(x)}h - f(x)\Bigr| = \Bigl|\frac1h\int_x^{x+h}\bigl(f - f(x)\bigr)\Bigr| \leq 2\,A_{\abs h}\abs{f - f(x)}(x) \to 0 :

أي $F' = f$ في كل مكان تقريبًا — فالدوال الأصلية لدوال $L^1$ تشتقّ فعلًا رجوعًا؛ والسلّم (المسألة 9.1) مثال مضاد للاتجاه العكسي وحده.

17. نطبّق السؤال 15 على $\mathbf 1_{A\cap[-n,n]}$ ونترك $n$ ينمو: فمن أجل $x \in A$ في كل مكان تقريبًا تكون الكثافة $\frac{\lambda(A\cap\intcc{x-r}{x+r})}{2r} \to 1$ . وأما شتاينهاوس: فحول نقطة كثافة نأخذ $r$ بكثافة $> \frac34$ ؛ ومن أجل $\abs t < \frac r2$ ، تملأ كلٌّ من $A$ و $A + t$ أكثر من $\frac32r$ من فترة طولها $\leq \frac52r$ ، ومنه تتقاطعان: $\intoo{-r/2}{r/2} \subseteq A - A$ .

18. لتكن $G(x) = x^{\alpha+1-p}F(x)^p$ : تنعدم $G$ عند $0$ (لأن $F$ تنعدم بجوار $0$ ) وعند $\infty$ (لأن $F$ محدودة، و $\alpha + 1 - p < 0$ )، ومنه $\int_0^\infty G' = 0$ مع

G' = (\alpha + 1 - p)\,x^{\alpha-p}F^p + p\,x^{\alpha+1-p}F^{p-1}f = (\alpha + 1 - p)\Bigl(\frac Fx\Bigr)^px^\alpha + p\Bigl(\frac Fx\Bigr)^{p-1}f\,x^\alpha .

ومنه $\int(F/x)^px^\alpha = \frac{p}{p-1-\alpha} \int(F/x)^{p-1}f\,x^\alpha$ ؛ وتنهي هولدر بالنسبة إلى القياس $x^\alpha\dd x$ (بالأُسّين $\frac p{p-1}$ و $p$ ) البرهانَ كما في السؤال 3. وأما الحالة الحدّية $\alpha = p - 1$ : فمع $f(t) = \frac1t\mathbf 1_{\intcc1A}$ ، يكون الطرف الأيمن $\ln A$ بينما يحتوي الأيسر على $\int_1^A\frac{(\ln x)^p}x\dd x = \frac{(\ln A)^{p+1}}{p+1}$ : فلا يصمد أي ثابت حين $A \to \infty$ .

19. بتونيلي على $\{0 < t < x\}$ :

\langle Hf, g\rangle = \int_0^\infty\frac{g(x)}x\int_0^xf(t)\,\dd t\,\dd x = \int_0^\infty f(t)\int_t^\infty\frac{g(x)}x\,\dd x\,\dd t = \langle f, H^*g\rangle .

وأما بالثنوية: $\norm{H^*f}_p = \sup\{\langle f, Hg\rangle : g \geq 0, \norm g_q \leq 1\} \leq \norm f_p\cdot \sup\norm{Hg}_q \leq \frac q{q-1}\norm f_p = p\,\norm f_p$ ، إذ تُستدعى هاردي في $L^q$ ، وثابتها $\frac q{q-1}$ يساوي $p$ .

20. نشطر على امتداد القطر (المعدوم القياس). فعلى $\{y \leq x\}$ :

\iint_{y\leq x}\frac{f(x)g(y)}{x}\,\dd y\,\dd x = \int f(x)\,(Hg)(x)\,\dd x \leq \norm f_p\,\norm{Hg}_q \leq p\,\norm f_p\norm g_q,

لأن هاردي في $L^q$ تحمل الثابت $\frac q{q-1} = p$ . وبالتناظر، $\iint_{y>x} = \int g\,(Hf) \leq \norm g_q\norm{Hf}_p \leq q\,\norm f_p\norm g_q$ ( $\frac p{p-1} = q$ ). وفي المجموع: $(p + q)\,\norm f_p\norm g_q$ .

21. من أجل $a_n = n^{-1/p}$ حيث $n \leq N$ : يكون الطرف الأيمن $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum_{n\leq N}\frac1n = \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\ln N + O(1)$ . وعلى اليسار، من أجل $n \leq N$ : $a_1 + \dots + a_n \geq \int_1^{n+1}t^{-1/p}\dd t = \frac{p}{p-1}\bigl((n+1)^{1-1/p} - 1\bigr)$ ، ومنه يكون متوسط تشيزارو ذو الرتبة $n$ مساويًا $\geq \frac p{p-1}n^{-1/p}(1 - o(1))$ بانتظام من أجل $n$ في أي مجال $n \geq n_0(\eta)$ ؛ وبالرفع إلى القوة $p$ والجمع، يكون الطرف الأيسر $\geq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p(1 - \eta)\ln N + O_\eta(1)$ . وبالقسمة وبجعل $N \to \infty$ ثم $\eta \to 0$ : لا يصلح أي ثابت أصغر من $\bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p$ .

22. كون $H$ محدودًا على $L^p$ : أي إن المتوسطات التراكمية لا تضخّم النظائم من النمط $p$ (بثابت $\frac p{p-1}$ )؛ وتشيزارو على $\ell^p$ : الشيء نفسه، متقطّعًا؛ وكون $M$ محدودًا على $L^p$ : أي إن أفضل متوسط محلي يظل تحت السيطرة (بثابت $O(\frac1{p-1})$ ). وتخفق الثلاثة جميعًا عند $p = 1$ ، ولسبب واحد: أن توسيط وحدة كتلة مركَّزة ينتج ذيلًا من الشكل $\frac1x$ (السؤالان 10 و13)، والمقدار $\frac1x$ ينتمي إلى كل $L^p$ بجوار اللانهاية عدا $L^1$ . فالتنعيم ينشر الكتلة إلى حدود القابلية للمكاملة التوافقية بالضبط.

23. نضع $b_n = a_n^{1/p}$ ، ومنه $\sum b_n^p = \sum a_n$ . ويعطي السؤال 8

\sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \leq \Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p}\sum_{n\geq1}a_n,

وتحدّ متراجحة الوسطين الحسابي والهندسي كل حدّ من الأسفل:

\Bigl(\frac{b_1 + \dots + b_n}n\Bigr)^{p} \geq \bigl(b_1\cdots b_n\bigr)^{p/n} = \bigl(a_1\cdots a_n\bigr)^{1/n}.

ومنه $\sum(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \bigl(\frac p{p-1}\bigr)^p\sum a_n$ من أجل كل $p > 1$ . ومع $m = p - 1$ ،

\Bigl(\frac p{p-1}\Bigr)^{p} = \Bigl(1 + \frac1m\Bigr)^{m+1},

وهو يتناقص إلى $\eu$ حين $m \to \infty$ (وهي المتتالية الرتيبة الكلاسيكية العليا للعدد $\eu$ ). وبأخذ الإنفيموم على $p$ نحصل على متراجحة كارلمان بالثابت $\eu$ .

24. من أجل $a_n = \frac1n$ ، $(a_1\cdots a_n)^{1/n} = (n!)^{-1/n}$ . ويعطي حصر المسألة 11.1 أن $\sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n \leq n! \leq \sqrt{2\pi n}\,(n/\eu)^n\eu^{1/(12n)}$ ، ومنه

(n!)^{1/n} = \frac n\eu\,(2\pi n)^{1/(2n)} \eu^{O(1/n^2)} = \frac n\eu\Bigl(1 + O\Bigl(\frac{\ln n}{n}\Bigr)\Bigr),

لأن $(2\pi n)^{1/(2n)} = \exp\bigl(\frac{\ln(2\pi n)}{2n}\bigr)$ . وبالقلب، $(n!)^{-1/n} = \frac\eu n(1 + O(\frac{\ln n}n))$ ، وبالجمع على $n \leq N$ :

\sum_{n\leq N}(n!)^{-1/n} = \eu\ln N + O(1), \qquad \eu\sum_{n\leq N}\frac1n = \eu\ln N + O(1)

(إذ تتقارب متسلسلة الخطأ $\sum\frac{\ln n}{n^2}$ ). ومتراجحة كارلمان بثابت $c$ تفرض $\eu\ln N + O(1) \leq c\,(\ln N + O(1))$ ، ومنه $c \geq \eu$ بالقسمة على $\ln N$ . وتصطفّ المتتاليات المُمثِّلة: فثابت هاردي يُبلَغ بالمتتالية $n^{-1/p}$ (السؤال 21)، وثابت كارلمان بالمتتالية $n^{-1}$ — وفي كل حالة تكون المتتالية من النمط التوافقي جالسةً خارج الفضاء المتوسَّط عليه بقليل.

25. من أجل $f = \mathbf 1_{\intcc01}$ : يكون $Hf(x) = 1$ على $\intoc01$ و $Hf(x) = \frac1x$ من أجل $x > 1$ ، ومنه $\norm{Hf}_2^2 = 1 + \int_1^\infty x^{-2}\dd x = 2$ ، وتكون النسبة $\sqrt2 \approx 1.414$ ، أي نحو $71\%$ من الحدّ الأمثل. وأما من أجل $f_A$ (حيث $p = 2$ ): فإن $F(x) = 2(\sqrt x - 1)$ على $\intcc1A$ ، ومنه على هذا المجال $Hf_A = 2x^{-1/2} - 2x^{-1}$ ، ومن أجل $x > A$ يكون $Hf_A(x) = 2(\sqrt A - 1)/x$ . وبالتربيع والمكاملة،

\begin{align*} \int_1^A\bigl(2x^{-1/2} - 2x^{-1}\bigr)^2\dd x &= 4\ln A - 12 + \frac{16}{\sqrt A} - \frac4A,\\ \int_A^{\infty}\frac{4(\sqrt A - 1)^2}{x^2}\,\dd x &= 4 - \frac{8}{\sqrt A} + \frac4A, \end{align*}

ومنه $\norm{Hf_A}_2^2 = 4\ln A - 8 + 8A^{-1/2}$ ؛ وبالقسمة على $\norm{f_A}_2^2 = \ln A$ نحصل على المتطابقة المذكورة. وعند $A = \eu^{10}$ : $4 - \frac{8(1 - \eu^{-5})}{10} = 3.2054$ ، ومنه تكون النسبة $\sqrt{3.2054} \approx 1.790 < 2$ . والنقص $4 - \norm{Hf_A}_2^2/\norm{f_A}_2^2 \sim 8/\ln A$ لا يتناقص إلا لوغاريتميًّا: فلبلوغ النسبة $1.99$ يلزم $\ln A \approx 200$ ، أي $A \approx 10^{87}$ . فالثوابت المثلى مبرهنات لا تجارب.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد