الجوار والمجموعة المفتوحة কী?

مثال 12.2

الفترات المفتوحة مفتوحة: فمن أجل $x \in \intoo{a}{b}$، خذ $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. وأنصاف المستقيمات $\intoo{a}{+\infty}$ مفتوحة؛ و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان (والثانية بالمجّان). وأمّا $\intcc{0}{1}$ فهي ليست مفتوحة: إذ لا فترة حول $0$ تبقى بالداخل.

مثال 12.4 (المصادقة على الانفتاح بأنصاف أقطار صريحة)

هل $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ مفتوحة؟ نعم، ويمكن كتابة الشهادة: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$، وهي اتحاد نصفَي مستقيم مفتوحين، مفتوحة حسب القضية 12.3. وبدلًا من ذلك، حاجج نقطةً نقطة: فمن أجل $x \in U$ مع $x > \sqrt 2$، خذ $r = x - \sqrt2 > 0$: فكل $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ يحقق $y > \sqrt 2$، ومنه $y^2 > 2$؛ وبالتناظر على اليسار. والأسلوبان كلاهما مهمّ — فالبنيوي (ابنِ من مجموعات مفتوحة معلومة باتحادات وتقاطعات منتهية) أقدر على التوسّع، والأسلوب بالمقدار $\varepsilon$ ينفع حين لا تُرى أيّ بنية؛ و سوف يضيف الفصل 13 ثالثًا، هو الأقوى: فالمجموعة $U$ هي الصورة العكسية للمجموعة المفتوحة $\intoo{2}{+\infty}$ بالتطبيق المتصل $x \mapsto x^2$.

مثال 12.8

القطع $\intcc{a}{b}$، وأنصاف المستقيمات $\intco{a}{+\infty}$، والمجموعات المنتهية، و $\Z$ (لأن متتالية متقاربة من الأعداد الصحيحة ثابتة في النهاية) كلها مغلقة. وأمّا $\intoc{0}{1}$ فليست مفتوحة (إذ تفشل عند $1$) ولا مغلقة ($\frac 1n \to 0 \notin$ المجموعة): فأكثر المجموعات ليست هذه ولا تلك. و $\R$ و $\emptyset$ مفتوحتان ومغلقتان معًا — وهما المجموعتان الجزئيتان الوحيدتان من $\R$ كذلك (التمرين 12.9).