ما معنى فضاء مترابط بالمسارات؟

مثال 6.22 (منحني جيب الطوبولوجي)

لتكن $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ ولتكن $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (فكل نقطة $(0, y)$ مع $\abs y \leq 1$ نهايةٌ لنقط من $\Gamma$: بحل $\sin\frac1x = y$ قرب $0$). عندئذٍ تكون $S$ مترابطة — لأنها غلق المجموعة المترابطة $\Gamma$، وهي صورة متصلة للفترة $(0, 1]$ (المبرهنة 6.20(3)) — لكنها غير مترابطة بالمسارات: إذ إن مسارًا من $(1, \sin 1)$ إلى $(0,0)$ سيضطر إلى قطع فواصل $\to 0$ بينما يتذبذب الترتيب بين $\pm1$؛ ويجعل التمرين 6.9 ذلك دقيقًا. فالترابط والترابط بالمسارات مختلفان فعلًا.