ما معنى فضاء مترابط بالمسارات؟ — الرياضيات

تعريف 6.21 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 6 — الطوبولوجيا العامة

يكون $X$ مترابطًا بالمسارات إذا كان أي نقطتين موصولتين بواسطة مسار (أي تطبيق متصل $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). والترابط بالمسارات يستلزم الترابط: إذ إن قيمتَي تطبيق متصل $f \colon X \to \{0,1\}$ عند $x, y$ هما قيمتان للتطبيق الثابت $f\circ\gamma$ (المبرهنة 6.20(1)–(2)). والأجزاء المحدّبة من الفضاءات المعيارية مترابطة بالمسارات (بالقطع)؛ وكذلك $\R^n \setminus \{0\}$ من أجل $n \geq 2$ (بالدوران حول المبدأ)، و $S^n$ من أجل $n \geq 1$ (بإسقاط المسارات من $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

منحني جيب الطوبولوجي: يتراكم منحني 1x (بالأحمر) على القطعة \0\×[-1,1] بأكملها (بالأزرق). والاتحاد مترابط لكنه غير مترابط بالمسارات: فلا يمكن لأي مسار متصل أن يعبر التذبذبات اللامنتهية العدد في زمن وسيطي منتهٍ. — منحني جيب الطوبولوجي: يتراكم منحني $\sin\frac1x$ (بالأحمر) على القطعة $\{0\}\times[-1,1]$ بأكملها (بالأزرق). والاتحاد مترابط لكنه غير مترابط بالمسارات: فلا يمكن لأي مسار متصل أن يعبر التذبذبات اللامنتهية العدد في زمن وسيطي منتهٍ.

أمثلة

مثال 6.22 (منحني جيب الطوبولوجي)

لتكن $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ ولتكن $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (فكل نقطة $(0, y)$ مع $\abs y \leq 1$ نهايةٌ لنقط من $\Gamma$ : بحل $\sin\frac1x = y$ قرب $0$ ). عندئذٍ تكون $S$ مترابطة — لأنها غلق المجموعة المترابطة $\Gamma$ ، وهي صورة متصلة للفترة $(0, 1]$ (المبرهنة 6.20(3)) — لكنها غير مترابطة بالمسارات: إذ إن مسارًا من $(1, \sin 1)$ إلى $(0,0)$ سيضطر إلى قطع فواصل $\to 0$ بينما يتذبذب الترتيب بين $\pm1$ ؛ ويجعل التمرين 6.9 ذلك دقيقًا. فالترابط والترابط بالمسارات مختلفان فعلًا.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة