पथ-संबद्ध समष्टि क्या है? — गणित

परिभाषा 6.21 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 6 — सामान्य संस्थिति

$X$ पथ-संबद्ध कहलाती है यदि किन्हीं दो बिंदुओं को कोई पथ (संतत $\gamma \colon [0,1] \to X$ ) जोड़ता हो। पथ-संबद्धता से संबद्धता निकलती है: संतत $f \colon X \to \{0,1\}$ के $x, y$ पर दो मान अचर $f\circ\gamma$ के मान हैं (प्रमेय 6.20(1)–(2))। मानकित समष्टियों के उत्तल उपसमुच्चय पथ-संबद्ध होते हैं (रेखाखंड); $n \geq 2$ के लिए $\R^n \setminus \{0\}$ भी (मूल बिंदु के चारों ओर घूम जाइए), और $n \geq 1$ के लिए $S^n$ भी ( $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ से पथों का प्रक्षेप कीजिए)।

संस्थितिविद् का ज्या वक्र: 1x का आलेख (लाल) पूरे रेखाखंड \0\×[-1,1] (नीला) पर संचित होता है। सम्मिलन संबद्ध है पर पथ-संबद्ध नहीं: कोई भी संतत पथ परिमित प्राचल समय में अनंत दोलनों को पार नहीं कर सकता। — संस्थितिविद् का ज्या वक्र: $\sin\frac1x$ का आलेख (लाल) पूरे रेखाखंड $\{0\}\times[-1,1]$ (नीला) पर संचित होता है। सम्मिलन संबद्ध है पर पथ-संबद्ध नहीं: कोई भी संतत पथ परिमित प्राचल समय में अनंत दोलनों को पार नहीं कर सकता।

उदाहरण

उदाहरण 6.22 (संस्थितिविद् का ज्या वक्र)

मान लीजिए $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ और $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (प्रत्येक बिंदु $(0, y)$ , $\abs y \leq 1$ , $\Gamma$ के बिंदुओं की सीमा है: $0$ के निकट $\sin\frac1x = y$ हल कीजिए)। तब $S$ संबद्ध है — यह संबद्ध $\Gamma$ की संवृति है, जो $(0, 1]$ का संतत प्रतिबिंब है (प्रमेय 6.20(3)) — पर पथ-संबद्ध नहीं: $(1, \sin 1)$ से $(0,0)$ तक कोई पथ $\to 0$ भुजाक्षों को पार करता, जबकि कोटि $\pm1$ के बीच दोलन करती रहती है; अभ्यास 6.9 इसे कठोर रूप दे देता है। संबद्धता और पथ-संबद्धता वास्तव में भिन्न हैं।

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