Qu'est-ce que « espace connexe par arcs » ? — Mathématiques

Définition 6.21 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 6 — Topologie générale

$X$ est connexe par arcs si deux points quelconques sont joints par un chemin (application continue $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). Connexe par arcs implique connexe : deux valeurs d’une $f \colon X \to \{0,1\}$ continue en $x, y$ sont des valeurs de la constante $f\circ\gamma$ (Théorème 6.20(1)–(2)). Les parties convexes d’espaces normés sont connexes par arcs (segments) ; de même $\R^n \setminus \{0\}$ pour $n \geq 2$ (contourner l’origine), et $S^n$ pour $n \geq 1$ (projeter des chemins depuis $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

La sinusoïde du topologue : le graphe de 1x (rouge) s’accumule sur tout le segment \0\×[-1,1] (bleu). La réunion est connexe mais non connexe par arcs : aucun chemin continu ne peut traverser les oscillations infiniment nombreuses en un temps de paramètre fini. — La sinusoïde du topologue : le graphe de $\sin\frac1x$ (rouge) s’accumule sur tout le segment $\{0\}\times[-1,1]$ (bleu). La réunion est connexe mais non connexe par arcs : aucun chemin continu ne peut traverser les oscillations infiniment nombreuses en un temps de paramètre fini.

Exemples

Exemple 6.22 (La sinusoïde du topologue)

Soit $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ et $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (tout point $(0, y)$ , $\abs y \leq 1$ , est limite de points de $\Gamma$ : résoudre $\sin\frac1x = y$ près de $0$ ). Alors $S$ est connexe — adhérence de la connexe $\Gamma$ , image continue de $(0, 1]$ (Théorème 6.20(3)) — mais pas connexe par arcs : un chemin de $(1, \sin 1)$ à $(0,0)$ devrait parcourir des abscisses $\to 0$ tandis que l’ordonnée oscille entre $\pm1$ ; Exercice 6.9 rend cela rigoureux. Connexité et connexité par arcs diffèrent vraiment.

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Exemples

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