Wat is wegsamenhangende ruimte? — Wiskunde

Definitie 6.21 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 6 — Algemene topologie

$X$ heet wegsamenhangend als twee willekeurige punten door een weg worden verbonden (een continue $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). Wegsamenhangend impliceert samenhangend: twee waarden van een continue $f \colon X \to \{0, 1\}$ in $x$ en $y$ zijn waarden van de constante $f\circ\gamma$ (Stelling 6.20(1)–(2)). Convexe deelverzamelingen van genormeerde ruimten zijn wegsamenhangend (lijnstukken); dat geldt ook voor $\R^n \setminus \{0\}$ met $n \geq 2$ (ga om de oorsprong heen) en voor $S^n$ met $n \geq 1$ (projecteer wegen vanuit $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

De sinuskromme van de topoloog: de grafiek van 1x (rood) hoopt zich op op het hele lijnstuk \0\×[-1,1] (blauw). De vereniging is samenhangend maar niet wegsamenhangend: geen enkele continue weg kan de oneindig vele schommelingen in eindige parametertijd doorkruisen. — De sinuskromme van de topoloog: de grafiek van $\sin\frac1x$ (rood) hoopt zich op op het hele lijnstuk $\{0\}\times[-1,1]$ (blauw). De vereniging is samenhangend maar niet wegsamenhangend: geen enkele continue weg kan de oneindig vele schommelingen in eindige parametertijd doorkruisen.

Voorbeelden

Voorbeeld 6.22 (De sinuskromme van de topoloog)

Zij $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ en $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (elk punt $(0, y)$ met $\abs y \leq 1$ is een limiet van punten van $\Gamma$ : los $\sin\frac1x = y$ op nabij $0$ ). Dan is $S$ samenhangend — de afsluiting van de samenhangende $\Gamma$ , een continu beeld van $(0, 1]$ (Stelling 6.20(3)) — maar niet wegsamenhangend: een weg van $(1, \sin 1)$ naar $(0,0)$ zou abscissen $\to 0$ moeten doorlopen terwijl de ordinaat tussen $\pm1$ blijft schommelen; Oefening 6.9 maakt dit precies. Samenhang en wegsamenhang verschillen dus werkelijk.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen