O que é espaço conexo por caminhos? — Matemática

Definição 6.21 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 6 — Topologia geral

$X$ é conexo por caminhos se dois pontos quaisquer são ligados por um caminho (uma aplicação contínua $\gamma \colon [0,1] \to X$ ). Conexo por caminhos implica conexo: dois valores de uma $f \colon X \to \{0,1\}$ contínua em $x, y$ são valores da aplicação constante $f\circ\gamma$ (Teorema 6.20(1)–(2)). Os subconjuntos convexos de espaços normados são conexos por caminhos (segmentos); também o são $\R^n \setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (contorne a origem) e $S^n$ para $n \geq 1$ (projete caminhos a partir de $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

$A curva seno do topólogo: o gráfico de 1x (em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento \0\×[-1,1] (em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.$

A curva seno do topólogo: o gráfico de

\sin\frac1x

(em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento

\{0\}\times[-1,1]

(em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.

Exemplos

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ e $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo ponto $(0, y)$ , com $\abs y \leq 1$ , é limite de pontos de $\Gamma$ : resolva $\sin\frac1x = y$ perto de $0$ ). Então $S$ é conexo — fecho do conexo $\Gamma$ , imagem contínua de $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de $(1, \sin 1)$ até $(0,0)$ teria de percorrer abscissas $\to 0$ enquanto a ordenada oscila entre $\pm1$ ; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.

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