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Matemática · Glossário

O que é espaço conexo por caminhos?

Definição 6.21 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 6 — Topologia geral

XX é conexo por caminhos se dois pontos quaisquer são ligados por um caminho (uma aplicação contínua γ ⁣:[0,1]→X\gamma \colon [0,1] \to X). Conexo por caminhos implica conexo: dois valores de uma f ⁣:X→{0,1}f \colon X \to \{0,1\} contínua em x,yx, y são valores da aplicação constante f∘γf\circ\gamma (Teorema 6.20(1)–(2)). Os subconjuntos convexos de espaços normados são conexos por caminhos (segmentos); também o são Rn∖{0}\R^n \setminus \{0\} para n≥2n \geq 2 (contorne a origem) e SnS^n para n≥1n \geq 1 (projete caminhos a partir de Rn+1∖{0}\R^{n+1}\setminus \{0\}).

A curva seno do topólogo: o gráfico de 1x (em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento \0\×[-1,1] (em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.
A curva seno do topólogo: o gráfico de sin⁡1x\sin\frac1x (em vermelho) acumula-se sobre todo o segmento {0}×[−1,1]\{0\}\times[-1,1] (em azul). A reunião é conexa mas não é conexa por caminhos: nenhum caminho contínuo pode atravessar as infinitas oscilações em tempo de parâmetro finito.

Exemplos

Exemplo 6.22 (A curva seno do topólogo)

Sejam Γ={(x,sin⁡1x):0<x≤1}\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\} e S=Γˉ=Γ∪({0}×[−1,1])S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1]) (todo ponto (0,y)(0, y), com ∣y∣≤1\abs y \leq 1, é limite de pontos de Γ\Gamma: resolva sin⁡1x=y\sin\frac1x = y perto de 00). Então SS é conexo — fecho do conexo Γ\Gamma, imagem contínua de (0,1](0, 1] (Teorema 6.20(3)) — mas não é conexo por caminhos: um caminho de (1,sin⁡1)(1, \sin 1) até (0,0)(0,0) teria de percorrer abscissas →0\to 0 enquanto a ordenada oscila entre ±1\pm1; o Exercício 6.9 torna isso rigoroso. Conexidade e conexidade por caminhos diferem de verdade.

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