¿Qué es espacio conexo por caminos? — Matemáticas

Definición 6.21 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 6 — Topología general

$X$ es conexo por caminos si dos puntos cualesquiera se unen por un camino (una $\gamma \colon [0,1] \to X$ continua). Conexo por caminos implica conexo: dos valores de una $f \colon X \to \{0,1\}$ continua en $x, y$ son valores de la constante $f\circ\gamma$ (el Teorema 6.20(1)–(2)). Los subconjuntos convexos de un espacio normado son conexos por caminos (segmentos); también lo son $\R^n \setminus \{0\}$ para $n \geq 2$ (rodéese el origen) y $S^n$ para $n \geq 1$ (proyéctense caminos desde $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

$La curva seno del topólogo: la gráfica de 1x (en rojo) se acumula sobre todo el segmento \0\×[-1,1] (en azul). La unión es conexa pero no conexa por caminos: ningún camino continuo puede atravesar las infinitas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.$

La curva seno del topólogo: la gráfica de

\sin\frac1x

(en rojo) se acumula sobre todo el segmento

\{0\}\times[-1,1]

(en azul). La unión es conexa pero no conexa por caminos: ningún camino continuo puede atravesar las infinitas oscilaciones en un tiempo de parámetro finito.

Ejemplos

Ejemplo 6.22 (La curva seno del topólogo)

Sean $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ y $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (todo punto $(0, y)$ con $\abs y \leq 1$ es límite de puntos de $\Gamma$ : resuélvase $\sin\frac1x = y$ cerca de $0$ ). Entonces $S$ es conexo — clausura del conexo $\Gamma$ , imagen continua de $(0, 1]$ (el Teorema 6.20(3)) — pero no es conexo por caminos: un camino de $(1, \sin 1)$ a $(0,0)$ tendría que recorrer abscisas $\to 0$ mientras la ordenada oscila entre $\pm1$ ; el Ejercicio 6.9 lo hace riguroso. La conexión y la conexión por caminos son genuinamente distintas.

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Ejemplos

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