Apa itu ruang terhubung lintasan? — Matematika

Definisi 6.21 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 6 — Topologi Umum

Ruang $X$ disebut terhubung lintasan jika sembarang dua titiknya dihubungkan oleh sebuah lintasan (yakni $\gamma \colon [0,1] \to X$ yang kontinu). Terhubung lintasan mengakibatkan terhubung: sebab dua nilai pemetaan kontinu $f \colon X \to \{0,1\}$ di $x, y$ merupakan nilai $f\circ\gamma$ yang konstan (Teorema 6.20(1)–(2)). Himpunan bagian konveks ruang bernorma bersifat terhubung lintasan (yaitu lewat ruas garis); demikian pula $\R^n \setminus \{0\}$ untuk $n \geq 2$ (kelilingi titik asalnya), dan $S^n$ untuk $n \geq 1$ (proyeksikan lintasan dari $\R^{n+1}\setminus \{0\}$ ).

Kurva sinus topolog: grafik 1x (merah) menumpuk pada seluruh ruas garis \0\×[-1,1] (biru). Gabungannya terhubung tetapi tidak terhubung lintasan: tak ada lintasan kontinu yang dapat menyeberangi ayunan yang tak berhingga banyaknya itu dalam waktu parameter yang berhingga. — Kurva sinus topolog: grafik $\sin\frac1x$ (merah) menumpuk pada seluruh ruas garis $\{0\}\times[-1,1]$ (biru). Gabungannya terhubung tetapi tidak terhubung lintasan: tak ada lintasan kontinu yang dapat menyeberangi ayunan yang tak berhingga banyaknya itu dalam waktu parameter yang berhingga.

Contoh

Contoh 6.22 (Kurva sinus topolog)

Misalkan $\Gamma = \{(x, \sin\frac1x) : 0 < x \leq 1\}$ dan $S = \bar\Gamma = \Gamma \cup (\{0\}\times[-1,1])$ (sebab setiap titik $(0, y)$ dengan $\abs y \leq 1$ merupakan limit titik $\Gamma$ : selesaikan $\sin\frac1x = y$ di dekat $0$ ). Maka $S$ bersifat terhubung — sebagai penutup $\Gamma$ yang terhubung, yaitu peta kontinu $(0, 1]$ (Teorema 6.20(3)) — tetapi tidak terhubung lintasan: sebab lintasan dari $(1, \sin 1)$ ke $(0,0)$ harus melintasi absis yang $\to 0$ sementara ordinatnya berayun antara $\pm1$ ; Latihan 6.9 membuatnya ketat. Keterhubungan dan keterhubungan lintasan memang benar-benar berbeda.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait