ما معنى الزمرة الجزئية؟

مثال 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: فهي غير خالية، ومن أجل $z, w \in \mathbb{U}_n$ لدينا $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. والزمر الجزئية للزمرة $(\Z, +)$ هي بالضبط $n\Z$ (المبرهن عليه في المبرهنة 6.4). وتقاطع زمر جزئية زمرةٌ جزئية دائمًا، لكن اتحادها لا يكون كذلك في الغالب الأعمّ (التمرين 7.6).

مثال 7.13 (تشاكل الإشارة)

التطبيق $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ الذي يرسل $x$ إلى إشارته تشاكلٌ: فإشارة الجداء هي جداء الإشارتين. ونواته $\intoo0{+\infty}$ (وهي زمرة جزئية، كما يعد التعريف 7.10)، وصورته كل $\{\pm1\}$: فهو شامل، وغير متباين بإفراط. وفي ذلك درسان عامّان مصغَّران. أولًا، قد يسحق التشاكل المعلومة: فالتطبيق $s$ لا يتذكر من $x$ إلا بتّة واحدة، وتلك فضيلته — إذ إن حجج الإشارة هي بالضبط الحسابات التي تمرّ عبر $s$. وثانيًا، التشاكلات نحو $\{\pm1\}$ هي أبسط «الثوابت»: فتوقيع التبديلات، المبنيّ في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل، هو الظاهرة نفسها على الزمرة $\mathfrak S_n$، وكل حجج الزوجية التي يشغّلها تنحدر عبر تشاكل ثنائي القيمة كهذا.