Wat is Deelgroep?

Voorbeeld 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: niet-leeg, en voor $z, w \in \mathbb{U}_n$ is $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. De deelgroepen van $(\Z, +)$ zijn precies de $n\Z$ (bewezen in Stelling 6.4). Een doorsnede van deelgroepen is altijd een deelgroep, maar een vereniging vrijwel nooit (Oefening 7.6).

Voorbeeld 7.13 (Het tekenmorfisme)

De afbeelding $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ die $x$ naar zijn teken stuurt is een morfisme: het teken van een product is het product van de tekens. Haar kern is $\intoo0{+\infty}$ (een deelgroep, zoals Definitie 7.10 belooft), haar beeld heel $\{\pm1\}$: surjectief, en massaal niet-injectief. Twee algemene lessen in het klein. Ten eerste kan een morfisme informatie vermorzelen: $s$ onthoudt van $x$ niets dan één bit, en dat is juist haar deugd — argumenten met tekens zijn precies de berekeningen die door $s$ heen factoriseren. Ten tweede zijn morfismen naar $\{\pm1\}$ de eenvoudigste “invarianten”: de signatuur van permutaties, opgebouwd in de weekendopgave van dit hoofdstuk, is hetzelfde verschijnsel op de groep $\mathfrak S_n$, en alle pariteitsargumenten die zij aandrijft dalen door zo’n tweewaardig morfisme af.