¿Qué es Subgrupo?

Ejemplo 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: es no vacío y, para $z, w \in \mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Los subgrupos de $(\Z, +)$ son exactamente los $n\Z$ (demostrado en el Teorema 6.4). Una intersección de subgrupos es siempre un subgrupo, pero una unión casi nunca lo es (Ejercicio 7.6).

Ejemplo 7.13 (El morfismo del signo)

La aplicación $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envía $x$ a su signo es un morfismo: el signo de un producto es el producto de los signos. Su núcleo es $\intoo0{+\infty}$ (un subgrupo, como promete la Definición 7.10) y su imagen es todo $\{\pm1\}$: sobreyectivo y masivamente no inyectivo. Dos lecciones generales en miniatura. Primera: un morfismo puede aplastar información; $s$ no recuerda nada de $x$ salvo un bit, y esa es su virtud — los argumentos de signo son exactamente los cálculos que pasan por $s$. Segunda: los morfismos en $\{\pm1\}$ son los «invariantes» más simples; la signatura de las permutaciones, construida en el problema del fin de semana de este capítulo, es el mismo fenómeno sobre el grupo $\mathfrak S_n$, y todos los argumentos de paridad que mueve descienden por un morfismo bivaluado así.