Qu'est-ce que « Sous-groupe » ?

Exemple 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$ : non vide, et pour $z, w \in \mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Les sous-groupes de $(\Z, +)$ sont exactement les $n\Z$ (démontré en Théorème 6.4). Une intersection de sous-groupes est toujours un sous-groupe, mais une réunion ne l’est presque jamais (Exercice 7.6).

Exemple 7.13 (Le morphisme signe)

L’application $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ qui envoie $x$ sur son signe est un morphisme : le signe d’un produit est le produit des signes. Son noyau est $\intoo0{+\infty}$ (un sous-groupe, comme le promet Définition 7.10), son image est $\{\pm1\}$ tout entier : surjectif, massivement non injectif. Deux leçons générales en miniature. D’abord, un morphisme peut écraser de l’information : $s$ ne retient de $x$ qu’un seul bit, et c’est là sa vertu — les raisonnements de signe sont exactement les calculs qui se factorisent par $s$. Ensuite, les morphismes à valeurs dans $\{\pm1\}$ sont les « invariants » les plus simples : la signature des permutations, construite dans le devoir maison de ce chapitre, est le même phénomène sur le groupe $\mathfrak S_n$, et tous les raisonnements de parité qu’elle alimente passent par un tel morphisme à deux valeurs.