O que é Subgrupo?

Exemplo 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: é não vazio e, para $z, w \in \mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Os subgrupos de $(\Z, +)$ são exatamente os $n\Z$ (demonstrado no Teorema 6.4). Uma interseção de subgrupos é sempre um subgrupo, mas uma união quase nunca é (Exercício 7.6).

Exemplo 7.13 (O morfismo sinal)

A aplicação $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envia $x$ ao seu sinal é um morfismo: o sinal de um produto é o produto dos sinais. O seu núcleo é $\intoo0{+\infty}$ (um subgrupo, como a Definição 7.10 promete), e a sua imagem é todo o $\{\pm1\}$: sobrejetivo, maciçamente não injetivo. Duas lições gerais em miniatura. Primeira, um morfismo pode esmagar informação: $s$ nada guarda de $x$ além de um bit, e isso é a sua virtude — argumentos de sinal são exatamente os cálculos que se fatoram por $s$. Segunda, os morfismos para $\{\pm1\}$ são os “invariantes” mais simples: o sinal das permutações, construído no problema de fim de semana deste capítulo, é o mesmo fenômeno no grupo $\mathfrak S_n$, e os argumentos de paridade que ele alimenta descem todos por um morfismo de dois valores desse tipo.