ما معنى الزمرة؟

مثال 7.4

$(\Z, +)$ و $(\Q, +)$ و $(\R, +)$ و $(\C, +)$؛ و $(\Q^*, \times)$ و $(\R^*, \times)$ و $(\C^*, \times)$ و$(\mathbb{U}_n, \times)$ (جذور الوحدة، التعريف 3.17)؛ ومجموعة $\mathfrak{S}(E)$ المكوَّنة من تقابلات مجموعة $E$ على نفسها، بالتركيب — وهي الزمرة المتناظرة للمجموعة $E$، وهي غير تبديلية بمجرد أن يكون $\abs E \geq 3$. وليست زمرًا: $(\N, +)$ (فلا مقلوبات)، و $(\Z, \times)$ (فلا يقبل القلب إلا $\pm 1$).

مثال 7.6 (تناظرات المستطيل)

يقبل المستطيل (غير المربع) أربعة تقايسات على نفسه بالضبط: التطبيق المطابق $e$، والتناظر بالنسبة إلى المحور الأفقي $h$، والتناظر بالنسبة إلى المحور العمودي $v$، ونصف الدورة $r$ حول المركز. ويجعل التركيب هذه المجموعة الرباعية زمرة: فكل عنصر مقلوب نفسه ($h^2 = v^2 = r^2 = e$)، ويكون جداء أيّ عنصرين متمايزين غير محايدين هو الثالث ($hv = vh = r$: فالتناظر بالنسبة إلى المحورين هو نصف الدورة). و الجدول الكامل متناظر، فالزمرة تبديلية — ومع ذلك فهي ليست الزمرة نفسها التي هي زمرة الدورانات $\mathbb U_4$ في المثال 7.15: فهناك رتبة $\iu$ تساوي $4$، بينما هنا رتبة كل عنصر $\leq 2$. فزمرتان لهما الحجم نفسه قد يكون لهما بنيتا ضرب مختلفتان حقًّا — ويعرض الرسم أدناه الجدولين جنبًا إلى جنب. وتعود هذه الزمرة الرباعية في صورة $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$، ويشرح التمرين 7.7 لماذا يجب على أيّ زمرة كل مربعاتها محايدة أن تكون، مثل هذه، تبديلية.

مثال 7.13 (تشاكل الإشارة)

التطبيق $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ الذي يرسل $x$ إلى إشارته تشاكلٌ: فإشارة الجداء هي جداء الإشارتين. ونواته $\intoo0{+\infty}$ (وهي زمرة جزئية، كما يعد التعريف 7.10)، وصورته كل $\{\pm1\}$: فهو شامل، وغير متباين بإفراط. وفي ذلك درسان عامّان مصغَّران. أولًا، قد يسحق التشاكل المعلومة: فالتطبيق $s$ لا يتذكر من $x$ إلا بتّة واحدة، وتلك فضيلته — إذ إن حجج الإشارة هي بالضبط الحسابات التي تمرّ عبر $s$. وثانيًا، التشاكلات نحو $\{\pm1\}$ هي أبسط «الثوابت»: فتوقيع التبديلات، المبنيّ في مسألة نهاية الأسبوع من هذا الفصل، هو الظاهرة نفسها على الزمرة $\mathfrak S_n$، وكل حجج الزوجية التي يشغّلها تنحدر عبر تشاكل ثنائي القيمة كهذا.