متتالية جزئية কী?

مثال 11.15 (نهايات المتتاليات الجزئية)

من أجل $u_n = (-1)^n \frac{n}{n+1}$: تؤول المتتالية الجزئية الزوجية إلى $1$، والفردية إلى $-1$، ومنه تتباعد المتتالية — لكنها تفعل ذلك بكيفية منظَّمة، متكدّسة حول القيمتين $\pm 1$. ومن أجل $u_n = \cos\frac{2\pi n}{3}$: المتتاليات الجزئية الثلاث ذات الأدلة $3k$ و $3k + 1$ و $3k + 2$ ثابتة، تساوي $1$ و $-\frac12$ و $-\frac12$؛ ومجموعة نهايات المتتاليات الجزئية هي $\{1, -\frac12\}$. والفكرة النافذة: تتقارب متتالية محدودة إذا وفقط إذا كان لها نهاية جزئية وحيدة (التمرين 11.8)؛ وتباعد متتالية محدودة يعني دائمًا تكدّسين على الأقل، وتضمن بولتزانو–فايرشتراس أدناه وجود واحد على الأقل.