ما معنى المجموع والمجموع المباشر؟

مثال 18.8 (مجموع مستقيمين)

في $\R^3$، لتكن $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ و $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. مجموعهما هو

أي المستوي المارّ بالمبدأ والحاوي للمستقيمين. وهو أكبر قطعًا من الاتحاد $F \cup G$ (وهو مجرد تقاطع المستقيمين): فالمتجهة $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ تقع في المجموع ولا تقع على أيّ من المستقيمين. و $F \cap G = \{0\}$ (لأن متجهةً مشتركة تقتضي $a(1,0,1) = b(0,1,1)$، وتفرض إحداثيتاها الأوليان $a = b = 0$): ومنه فالمجموع مباشر، و $F \oplus G$ هو ذلك المستوي بالضبط.

مثال 18.11

في $\mathcal{F}(\R, \R)$، تكون الدوال الزوجية $\mathcal{P}$ و الدوال الفردية $\mathcal{I}$ متتامّتين: إذ تُكتب أيّ $f$

والدالة الزوجية والفردية معًا معدومة. (وتطبيقًا على $\exp$، هذا هو الزوج $(\cosh, \sinh)$ في الفصل 4.)

مثال 18.12 (زوج متتامّ في $K_n[X]$)

ثبّت $a \in K$ وضع $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ و $G = \operatorname{Vect}(1)$ (وهي الثوابت). عندئذ $K_n[X] = F \oplus G$. فعلًا يتألف $F \cap G$ من الثوابت المنعدمة عند $a$، أي $\{0\}$؛ وكل $P$ يتفكّك

والتفكيك جدير بالحفظ: فطرح القيمة عند نقطة هو الكيفية المعيارية للإسقاط على «الدوال المنعدمة عند $a$». ولاحظ أن $F$ فضاء جزئي كبير و $G$ صغير؛ فليس على الزوج المتتامّ أن يكون متوازنًا بأيّ معنى.