Qu'est-ce que « Somme, somme directe » ? — Mathématiques

Définition 18.7 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 18 — Espaces vectoriels

Pour des sous-espaces $F, G$ de $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

est un sous-espace (le plus petit contenant $F \cup G$ ). La somme est directe, notée $F \oplus G$ , lorsque tout élément de $F + G$ se décompose de façon unique en $u + v$ ; de façon équivalente (voir ci-dessous) lorsque $F \cap G = \{0\}$ . Quand $E = F \oplus G$ , les sous-espaces sont supplémentaires dans $E$ .

Deux décompositions d’un même point de ℝ2 selon F (l’axe des x) : avec le supplémentaire G (descente verticale) et avec le supplémentaire G' (descente oblique). Les composantes sur F diffèrent : une projection dépend de la direction de descente. — Deux décompositions d’un même point de $\R^2$ selon $F$ (l’axe des $x$ ) : avec le supplémentaire $G$ (descente verticale) et avec le supplémentaire $G'$ (descente oblique). Les composantes sur $F$ diffèrent : une projection dépend de la direction de descente.

Exemples

Exemple 18.8 (Une somme de deux droites)

Dans $\R^3$ , posons $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ et $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . Leur somme est

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

le plan passant par l’origine et contenant les deux droites. Il est strictement plus gros que la réunion $F \cup G$ (la simple croix formée des deux droites) : le vecteur $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ est dans la somme mais sur aucune des deux droites. Et $F \cap G = \{0\}$ (un vecteur commun impose $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , dont les deux premières coordonnées forcent $a = b = 0$ ) : la somme est directe, et $F \oplus G$ est exactement ce plan.

Exemple 18.11

Dans $\mathcal{F}(\R, \R)$ , les fonctions paires $\mathcal{P}$ et les fonctions impaires $\mathcal{I}$ sont supplémentaires : toute $f$ s’écrit

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{paire}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{impaire}},

et une fonction à la fois paire et impaire est nulle. (Appliqué à $\exp$ , c’est le couple $(\cosh, \sinh)$ du Chapitre 4.)

Exemple 18.12 (Un couple de supplémentaires dans $K_n[X]$ )

Fixons $a \in K$ et posons $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (les constantes). Alors $K_n[X] = F \oplus G$ . En effet $F \cap G$ est formé des constantes s’annulant en $a$ , c’est-à-dire $\{0\}$ ; et tout $P$ se décompose en

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

La décomposition mérite d’être mémorisée : retrancher la valeur en un point est la façon standard de projeter sur les « fonctions s’annulant en $a$ ». Remarquons que $F$ est un gros sous-espace et $G$ un tout petit ; un couple de supplémentaires n’a aucune raison d’être équilibré.

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Exemples

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