Apa itu Jumlah, jumlah langsung? — Matematika

Definisi 18.7 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 18 — Ruang Vektor

Untuk subruang $F, G$ pada $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

merupakan subruang (yaitu yang terkecil yang memuat $F \cup G$ ). Jumlahnya disebut langsung, yang ditulis $F \oplus G$ , bila setiap unsur $F + G$ terurai secara tunggal sebagai $u + v$ ; setara dengan itu (lihatlah di bawah) bila $F \cap G = \{0\}$ . Adapun ketika $E = F \oplus G$ , kedua subruangnya disebut saling melengkapi di dalam $E$ .

Dua penguraian titik yang sama pada ℝ2 sepanjang F (yaitu sumbu x): dengan pelengkap G (lewat jatuhan tegak) dan dengan pelengkap G' (lewat jatuhan miring). Adapun komponen F-nya berbeda: sehingga sebuah proyeksi bergantung pada arah turunnya. — Dua penguraian titik yang sama pada $\R^2$ sepanjang $F$ (yaitu sumbu $x$ ): dengan pelengkap $G$ (lewat jatuhan tegak) dan dengan pelengkap $G'$ (lewat jatuhan miring). Adapun komponen $F$ -nya berbeda: sehingga sebuah proyeksi bergantung pada arah turunnya.

Contoh

Contoh 18.8 (Sebuah jumlah dua garis)

Di dalam $\R^3$ , misalkan $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ dan $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . Maka jumlahnya adalah

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

yaitu bidang lewat titik asal yang memuat kedua garisnya. Ia tegas lebih besar daripada gabungannya $F \cup G$ (yang sekadar silang kedua garisnya): karena vektor $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ terletak di jumlahnya tetapi tak pada garis mana pun. Dan $F \cap G = \{0\}$ (karena sebuah vektor bersama menuntut $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , yang dua koordinat pertamanya memaksa $a = b = 0$ ): sehingga jumlahnya langsung, dan $F \oplus G$ persis merupakan bidang itu.

Contoh 18.11

Di dalam $\mathcal{F}(\R, \R)$ , fungsi genap $\mathcal{P}$ dan fungsi ganjil $\mathcal{I}$ saling melengkapi: karena sebarang $f$ tertulis

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{genap}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{ganjil}},

dan sebuah fungsi yang sekaligus genap dan ganjil bernilai nol. (Bila diterapkan pada $\exp$ , ini merupakan pasangan $(\cosh, \sinh)$ pada Bab 4.)

Contoh 18.12 (Sepasang pelengkap di dalam $K_n[X]$ )

Tetapkanlah $a \in K$ lalu tetapkan $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (yaitu konstantanya). Maka $K_n[X] = F \oplus G$ . Memang $F \cap G$ terdiri atas konstanta yang lenyap di $a$ , yakni $\{0\}$ ; dan setiap $P$ terurai sebagai

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

Penguraian ini pantas dihafalkan: karena mengurangkan nilainya di sebuah titik merupakan cara baku memproyeksikan ke “fungsi yang lenyap di $a$ ”. Perhatikanlah bahwa $F$ subruang yang besar sedangkan $G$ yang kecil; jadi sepasang pelengkap tak harus seimbang dalam arti apa pun.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait