¿Qué es Suma, suma directa? — Matemáticas

Definición 18.7 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 18 — Espacios vectoriales

Para subespacios $F, G$ de $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

es un subespacio (el menor que contiene a $F \cup G$ ). La suma es directa, y se escribe $F \oplus G$ , cuando todo elemento de $F + G$ se descompone de forma única como $u + v$ ; equivalentemente (véase más abajo), cuando $F \cap G = \{0\}$ . Cuando $E = F \oplus G$ , los subespacios son suplementarios en $E$ .

Dos descomposiciones de un mismo punto de ℝ2 a lo largo de F (el eje x): con el suplementario G (caída vertical) y con el suplementario G' (caída oblicua). Las componentes en F difieren: una proyección depende de la dirección del descenso. — Dos descomposiciones de un mismo punto de $\R^2$ a lo largo de $F$ (el eje $x$ ): con el suplementario $G$ (caída vertical) y con el suplementario $G'$ (caída oblicua). Las componentes en $F$ difieren: una proyección depende de la dirección del descenso.

Ejemplos

Ejemplo 18.8 (Una suma de dos rectas)

En $\R^3$ , sean $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ y $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . Su suma es

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

el plano que pasa por el origen y contiene las dos rectas. Es estrictamente mayor que la unión $F \cup G$ (la mera cruz de las dos rectas): el vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está en la suma pero en ninguna de las dos rectas. Y $F \cap G = \{0\}$ (un vector común exigiría $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , cuyas dos primeras coordenadas fuerzan $a = b = 0$ ): la suma es directa, y $F \oplus G$ es exactamente ese plano.

Ejemplo 18.11

En $\mathcal{F}(\R, \R)$ , las funciones pares $\mathcal{P}$ y las impares $\mathcal{I}$ son suplementarias: toda $f$ se escribe

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{even}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{odd}},

y una función a la vez par e impar es nula. (Aplicado a $\exp$ , esto es la pareja $(\cosh, \sinh)$ del Capítulo 4.)

Ejemplo 18.12 (Una pareja suplementaria en $K_n[X]$ )

Fíjese $a \in K$ y póngase $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (las constantes). Entonces $K_n[X] = F \oplus G$ . En efecto, $F \cap G$ consta de las constantes que se anulan en $a$ , es decir, $\{0\}$ ; y todo $P$ se descompone como

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

La descomposición merece memorizarse: restar el valor en un punto es la forma estándar de proyectar sobre las «funciones que se anulan en $a$ ». Nótese que $F$ es un subespacio grande y $G$ uno pequeño; una pareja de suplementarios no tiene por qué estar equilibrada en ningún sentido.

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Ejemplos

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