O que é Soma, soma direta?

Exemplo 18.8 (Uma soma de duas retas)

Em $\R^3$, sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ e $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. A sua soma é

o plano pela origem que contém as duas retas. Ele é estritamente maior do que a união $F \cup G$ (a mera cruz das duas retas): o vetor $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está na soma mas em nenhuma das duas retas. E $F \cap G = \{0\}$ (um vetor comum exigiria $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, cujas duas primeiras coordenadas forçam $a = b = 0$): a soma é direta, e $F \oplus G$ é exatamente aquele plano.

Exemplo 18.11

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$, as funções pares $\mathcal{P}$ e as funções ímpares $\mathcal{I}$ são suplementares: toda $f$ se escreve

e uma função ao mesmo tempo par e ímpar é nula. (Aplicado a $\exp$, isto é o par $(\cosh, \sinh)$ do Capítulo 4.)

Exemplo 18.12 (Um par suplementar em $K_n[X]$)

Fixe $a \in K$ e ponha $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G = \operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). Então $K_n[X] = F \oplus G$. De fato $F \cap G$ consiste nas constantes que se anulam em $a$, isto é, $\{0\}$; e todo $P$ se decompõe como

Vale a pena memorizar a decomposição: subtrair o valor num ponto é a maneira padrão de projetar sobre as “funções que se anulam em $a$”. Note que $F$ é um subespaço grande e $G$ um pequeno; um par suplementar não precisa ser equilibrado em sentido algum.