O que é Soma, soma direta? — Matemática

Definição 18.7 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 18 — Espaços Vetoriais

Para subespaços $F, G$ de $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

é um subespaço (o menor que contém $F \cup G$ ). A soma é direta, escrita $F \oplus G$ , quando todo elemento de $F + G$ se decompõe de modo único como $u + v$ ; equivalentemente (veja abaixo) quando $F \cap G = \{0\}$ . Quando $E = F \oplus G$ , os subespaços são suplementares em $E$ .

Duas decomposições do mesmo ponto de ℝ2 ao longo de F (o eixo x): com o suplementar G (queda vertical) e com o suplementar G' (queda oblíqua). As componentes em F diferem: uma projeção depende da direção da descida. — Duas decomposições do mesmo ponto de $\R^2$ ao longo de $F$ (o eixo $x$ ): com o suplementar $G$ (queda vertical) e com o suplementar $G'$ (queda oblíqua). As componentes em $F$ diferem: uma projeção depende da direção da descida.

Exemplos

Exemplo 18.8 (Uma soma de duas retas)

Em $\R^3$ , sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ e $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . A sua soma é

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

o plano pela origem que contém as duas retas. Ele é estritamente maior do que a união $F \cup G$ (a mera cruz das duas retas): o vetor $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está na soma mas em nenhuma das duas retas. E $F \cap G = \{0\}$ (um vetor comum exigiria $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , cujas duas primeiras coordenadas forçam $a = b = 0$ ): a soma é direta, e $F \oplus G$ é exatamente aquele plano.

Exemplo 18.11

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$ , as funções pares $\mathcal{P}$ e as funções ímpares $\mathcal{I}$ são suplementares: toda $f$ se escreve

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{par}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{ímpar}},

e uma função ao mesmo tempo par e ímpar é nula. (Aplicado a $\exp$ , isto é o par $(\cosh, \sinh)$ do Capítulo 4.)

Exemplo 18.12 (Um par suplementar em $K_n[X]$ )

Fixe $a \in K$ e ponha $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). Então $K_n[X] = F \oplus G$ . De fato $F \cap G$ consiste nas constantes que se anulam em $a$ , isto é, $\{0\}$ ; e todo $P$ se decompõe como

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

Vale a pena memorizar a decomposição: subtrair o valor num ponto é a maneira padrão de projetar sobre as “funções que se anulam em $a$ ”. Note que $F$ é um subespaço grande e $G$ um pequeno; um par suplementar não precisa ser equilibrado em sentido algum.

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