Wat is Som, directe som?

Voorbeeld 18.8 (Een som van twee rechten)

Zij in $\R^3$ $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ en $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$. Hun som is

het vlak door de oorsprong dat beide rechten bevat. Het is strikt groter dan de vereniging $F \cup G$ (het loutere kruis van de twee rechten): de vector $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ ligt in de som maar op geen van beide rechten. En $F \cap G = \{0\}$ (een gemeenschappelijke vector vereist $a(1,0,1) = b(0,1,1)$, waarvan de eerste twee coördinaten $a = b = 0$ afdwingen): de som is direct, en $F \oplus G$ is precies dat vlak.

Voorbeeld 18.11

In $\mathcal{F}(\R, \R)$ zijn de even functies $\mathcal{P}$ en de oneven functies $\mathcal{I}$ complementair: elke $f$ schrijft zich als

en een functie die zowel even als oneven is, is nul. (Toegepast op $\exp$ is dit het paar $(\cosh, \sinh)$ van Hoofdstuk 4.)

Voorbeeld 18.12 (Een complementair paar in $K_n[X]$)

Leg $a \in K$ vast en stel $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ en $G = \operatorname{Vect}(1)$ (de constanten). Dan is $K_n[X] = F \oplus G$. Inderdaad bestaat $F \cap G$ uit de constanten die in $a$ nul worden, dus uit $\{0\}$; en elke $P$ ontbindt als

De ontbinding is het onthouden waard: de waarde in een punt aftrekken is de standaardmanier om op “functies die in $a$ nul worden” te projecteren. Merk op dat $F$ een grote deelruimte is en $G$ een kleine; een complementair paar hoeft in geen enkele zin in evenwicht te zijn.