योग, प्रत्यक्ष योग क्या है? — गणित

परिभाषा 18.7 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 18 — सदिश समष्टियाँ

$E$ की उपसमष्टियों $F, G$ के लिए:

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

एक उपसमष्टि है ( $F \cup G$ को समाहित करने वाली सबसे छोटी)। यह योग प्रत्यक्ष तब कहलाता है और $F \oplus G$ लिखा जाता है, जब $F + G$ का हर अवयव अद्वितीय रूप से $u + v$ के रूप में विघटित होता हो; तुल्य रूप से (नीचे देखिए) जब $F \cap G = \{0\}$ हो। और जब $E = F \oplus G$ हो, तो वे उपसमष्टियाँ $E$ में पूरक कहलाती हैं।

ℝ2 के एक ही बिंदु के F (x-अक्ष) के अनुदिश दो विघटन: पूरक G के साथ (लंबवत गिरावट) और पूरक G' के साथ (तिरछी गिरावट)। F-घटक भिन्न हैं: प्रक्षेप उतरने की दिशा पर निर्भर करता है। — $\R^2$ के एक ही बिंदु के $F$ ( $x$ -अक्ष) के अनुदिश दो विघटन: पूरक $G$ के साथ (लंबवत गिरावट) और पूरक $G'$ के साथ (तिरछी गिरावट)। $F$ -घटक भिन्न हैं: प्रक्षेप उतरने की दिशा पर निर्भर करता है।

उदाहरण

उदाहरण 18.8 (दो रेखाओं का योग)

$\R^3$ में मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ और $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ । उनका योग है

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

अर्थात् मूल बिंदु से होकर जाने वाला वह समतल जिसमें दोनों रेखाएँ हैं। यह संघ $F \cup G$ (केवल दो कटती हुई रेखाओं का आकार) से सचमुच बड़ा है: सदिश $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ योग में है पर किसी भी रेखा पर नहीं। और $F \cap G = \{0\}$ (उभयनिष्ठ सदिश के लिए $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ चाहिए, जिसके पहले दो निर्देशांक $a = b = 0$ बाध्य कर देते हैं): अतः योग प्रत्यक्ष है, और $F \oplus G$ ठीक वही समतल है।

उदाहरण 18.11

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में सम फलन $\mathcal{P}$ और विषम फलन $\mathcal{I}$ पूरक हैं: कोई भी $f$ यों लिखा जाता है

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{सम}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{विषम}},

और जो फलन सम भी हो और विषम भी, वह शून्य है। ( $\exp$ पर लगाने से यह अध्याय 4 की जोड़ी $(\cosh, \sinh)$ ही है।)

उदाहरण 18.12 ( $K_n[X]$ में एक पूरक जोड़ी)

$a \in K$ नियत कीजिए और $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (अचर फलन) रखिए। तब $K_n[X] = F \oplus G$ । वस्तुतः $F \cap G$ में वे अचर फलन हैं जो $a$ पर शून्य होते हैं, अर्थात् $\{0\}$ ; और हर $P$ यों विघटित होता है

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

यह विघटन याद रखने योग्य है: किसी बिंदु पर के मान को घटा देना ही “ $a$ पर शून्य होने वाले फलनों” पर प्रक्षेप करने की मानक विधि है। ध्यान दीजिए कि $F$ एक बड़ी उपसमष्टि है और $G$ एक छोटी; पूरक जोड़ी का किसी भी अर्थ में संतुलित होना आवश्यक नहीं।

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