حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الفيزياء · المسرد

ما معنى العدد الموجي العقدي: الانتشار والوهن؟

تعريف 8.3 الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · الفصل 8 — التبدد والرزم الموجية

حين تعطي علاقة التبدد، من أجل ω\omega حقيقي، عددًا k‾=k′−ik′′\underline k = k' - \iu k'' عقديًّا، تكون الموجة

s‾=A e−k′′x ei(ωt−k′x):\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

فهي تنتشر بالسرعة vφ=ω/k′v_\varphi = \omega/k' وتخمد سعتها مثل e−x/δ\eu^{-x/\delta}، وطول الوهن هو δ=1/k′′\delta = 1/k'' (وعليها أن تخمد في جهة انتشارها: فيكون k′k' و k′′k'' من الإشارة نفسها). وإذا كان k‾\underline k تخيليًّا صرفًا، k‾=−iκ\underline k = -\iu\kappa، كانت الموجة متلاشية: A e−κxeiωtA\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}، أي تذبذبًا مستقرًّا تموت سعته على مسافة 1/κ1/\kappa دون أن ينقل شيئًا — وهي حالة وسط كلاين–غوردون دون تواتر قطعه، κ=ωc2−ω2/c\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c، وحالة معدن عند التواترات الضوئية.

أمثلة

مثال 8.4 (وتر متخامد)

وتر في مائع لزج، μ∂t2y+α∂ty=T∂x2y\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y: k‾2=(ω2−iαω/μ)/c2\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2. ومن أجل تخامد ضعيف (α≪μω\alpha \ll \mu \omega)، k‾≈ωc(1−iα2μω)\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr): فتحتفظ الموجة بسرعتها وتفقد سعتها على المسافة δ=2μc/α=2Z/α\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha، دون توقف على التواتر — أي ضياعًا تبديديًّا غير متبدّد، مقداره 8.7 dB8.7\,\mathrm{dB} في كل طول δ\delta.

مثال 8.11 (ثلاثة كابلات)

كابل الأطلسي سنة 1858: سلك نحاسي واحد في الغوتابركا، و R≈3 Ω/kmR \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}، و Γ≈0.3 µF/km\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}، و L=3000 kmL = 3000\,\mathrm{km}: ومنه RΓ=9×10−10 s/m2R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2} و RΓL2≈8 sR\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s} لكل نقطة: أي كلمة في الدقيقة، وأتلفت محاولات المشغّلين فرضَ الإشارة بتوتر 2 kV2\,\mathrm{kV} العازلَ في أسابيع. وخط هاتفي محمَّل بوشائع كل 2 km2\,\mathrm{km} تحقيقًا لشرط هيفيسايد (سنة 1900): كلام واضح على مئات الكيلومترات. وكابل محوري حديث عند 50 Ω50\,\Omega: c=2×108 m/sc = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}، و Λ=0.25 µH/m\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}، و Γ=100 pF/m\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}، ووهن، سببه الأثر القشري في الناقلين (الفصل 14)، ينمو مثل f\sqrt f: أي بضعة ديسيبلات في المئة متر عند 100 MHz100\,\mathrm{MHz}.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة