¿Qué es Número de onda complejo: propagación y atenuación? — Física

Definición 8.3 Física universitaria — segundo año · Capítulo 8 — Dispersión y paquetes de ondas

Cuando la relación de dispersión da, para $\omega$ real, un $\underline k = k' - \iu k''$ complejo, la onda vale

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

se propaga a $v_\varphi = \omega/k'$ y su amplitud decae como $\eu^{-x/\delta}$ , con la longitud de atenuación $\delta = 1/k''$ (debe decaer en su sentido de propagación: $k'$ y $k''$ del mismo signo). Si $\underline k$ es imaginario puro, $\underline k = -\iu\kappa$ , la onda es evanescente: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , una oscilación estacionaria cuya amplitud muere en la distancia $1/\kappa$ sin propagar nada — el caso de un medio de Klein–Gordon por debajo de su corte, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , y el de un metal a frecuencias ópticas.

Ejemplos

Ejemplo 8.4 (Una cuerda amortiguada)

Una cuerda en un fluido viscoso, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Con amortiguamiento débil ( $\alpha \ll \mu \omega$ ), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : la onda conserva su celeridad y pierde amplitud en $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , independiente de la frecuencia — una pérdida disipativa y no dispersiva, de $8.7\,\mathrm{dB}$ por cada longitud $\delta$ .

Ejemplo 8.11 (Tres cables)

El cable transatlántico de 1858: un solo hilo de cobre en gutapercha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ y $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ por punto: una palabra por minuto, y los intentos de los operadores de forzar la señal con $2\,\mathrm{kV}$ destruyeron el aislamiento en unas semanas. Una línea telefónica cargada con bobinas cada $2\,\mathrm{km}$ para cumplir la condición de Heaviside (1900): habla nítida a lo largo de cientos de kilómetros. Un cable coaxial moderno de $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , y una atenuación, debida al efecto pelicular en los conductores (Capítulo 14), que crece como $\sqrt f$ : unos pocos decibelios por cada cien metros a $100\,\mathrm{MHz}$ .

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Ejemplos

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