الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

8التبدد والرزم الموجية

ألقِ حجرًا في بركة وانظر إلى حلقة التموّجات: تولد ذرى جديدة عند حافتها الداخلية، وتجري إلى الخارج عبر الحلقة، وتموت عند حافتها الخارجية — فالحلقة ككل تمضي أبطأ من الذرى التي فيها. واجلس على شاطئ بعد عاصفة بعيدة فيصل الموج الطويل البطيء قبل الموج القصير بيوم: إذ يفرز البحر الأمواج بأطوالها. وحوّل أول كابل تلغرافي عابر للأطلسي، سنة 1858، النقاط والشرطات الحادّة إلى لطخة تستغرق قراءتها دقائق. وفي الحالات الثلاث تتوقف سرعة الموجة على تواترها: أي إن الوسط متبدّد. وهذا الفصل يقدّم علاقة التبدد، والعدد الموجي العقدي الذي يحمل الانتشار والامتصاص معًا، وسرعة المجموعة التي تنتقل بها رزمة — وطاقتها ومعلومتها — في الواقع، والخطّ الذي انتقلت عليه التلغرافيا والتلفزة والإنترنت: أي الكابل المحوري.

8.1 علاقة التبدد

تعريف 8.1 (علاقة التبدد؛ سرعة الطور)

وسط خطي متجانس ثابت مع الزمن يقبل الأمواج المستوية وحيدة اللون $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ (بالترميز العقدي؛ والإشارة الفيزيائية هي الجزء الحقيقي) شرط أن يحقق $\omega$ و $k$ علاقة تبدد الوسط، $\mathcal D(\omega, k) = 0$ ، محلولةً في صورة $k(\omega)$ أو $\omega(k)$ . ومن أجل $k$ حقيقي تنتقل الموجة دون تشوّه، وسرعة طورها

v_\varphi = \frac\omega k .

ويكون الوسط غير متبدّد حين لا تتوقف $v_\varphi$ على $\omega$ (وعندئذ $\omega = ck$ وتنتشر كل إشارة دون تشوّه — أي معادلة دالمبير)، ومتبدّدًا فيما عدا ذلك.

برهان. إدخال $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ في معادلة خطية ذات أمثال ثابتة يحوّل كل $\partial_t$ إلى $\iu\omega$ وكل $\partial_x$ إلى $-\iu k$ ، فتبقى علاقة جبرية. وقد أعطى الوتر والموجة الصوتية والقضيب $\omega^2 = c^2k^2$ . ∎

مثال 8.2 (المتبدّد وغير المتبدّد)

(1) وتر على مهاد مرن (وقوة إرجاعه $-Ky$ في واحدة الطول، أو سلسلة نواسات)، $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ مع $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — وهي علاقة كلاين–غوردون، وهي علاقة البلازما ودليل الموجة نفسها (الفصول 14 و16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ ، ولا $k$ حقيقي دون تواتر القطع $\omega_c$ . (2) أمواج الثقالة في الماء العميق: $\omega^2 = gk$ (مسلَّم بها)، و $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : فالأمواج الطويلة أسرع — أي $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ من أجل $100\,\mathrm{m}$ ، و $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ من أجل $1\,\mathrm{km}$ . (3) وسلسلة الذرات، $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (الفصل 6). (4) والضوء في الزجاج، $k = n(\omega)\omega/c$ ، ولهذا ينشر الموشور طيفًا.

على اليمين: ثلاث علاقات تبدد — مستقيم من أجل وسط غير متبدّد، وقطع كلاين–غوردون الزائد بتواتر قطعه، وقطع أمواج الماء العميق المكافئ. وعلى اليسار: في علاقة كلاين–غوردون تفوق سرعة الطور c وتبقى سرعة المجموعة دونها، مع v_ v_g = c2. — على اليمين: ثلاث علاقات تبدد — مستقيم من أجل وسط غير متبدّد، وقطع كلاين–غوردون الزائد بتواتر قطعه، وقطع أمواج الماء العميق المكافئ. وعلى اليسار: في علاقة كلاين–غوردون تفوق سرعة الطور $c$ وتبقى سرعة المجموعة دونها، مع $v_\varphi v_g = c^2$ .

تعريف 8.3 (العدد الموجي العقدي: الانتشار والوهن)

حين تعطي علاقة التبدد، من أجل $\omega$ حقيقي، عددًا $\underline k = k' - \iu k''$ عقديًّا، تكون الموجة

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

فهي تنتشر بالسرعة $v_\varphi = \omega/k'$ وتخمد سعتها مثل $\eu^{-x/\delta}$ ، وطول الوهن هو $\delta = 1/k''$ (وعليها أن تخمد في جهة انتشارها: فيكون $k'$ و $k''$ من الإشارة نفسها). وإذا كان $\underline k$ تخيليًّا صرفًا، $\underline k = -\iu\kappa$ ، كانت الموجة متلاشية: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ ، أي تذبذبًا مستقرًّا تموت سعته على مسافة $1/\kappa$ دون أن ينقل شيئًا — وهي حالة وسط كلاين–غوردون دون تواتر قطعه، $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ ، وحالة معدن عند التواترات الضوئية.

مثال 8.4 (وتر متخامد)

وتر في مائع لزج، $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . ومن أجل تخامد ضعيف ( $\alpha \ll \mu \omega$ )، $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : فتحتفظ الموجة بسرعتها وتفقد سعتها على المسافة $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ ، دون توقف على التواتر — أي ضياعًا تبديديًّا غير متبدّد، مقداره $8.7\,\mathrm{dB}$ في كل طول $\delta$ .

8.2 الرزم الموجية وسرعة المجموعة

قضية 8.5 (الضربات؛ سرعة المجموعة)

موجتان متساويتا السعة وتواتراهما متجاوران $\omega \pm \delta\omega$ ، وعدداهما الموجيان $k \pm \delta k$ ، تتراكبان فتعطيان

s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :

أي حاملًا عند $(\omega, k)$ يتحرك بالسرعة $v_\varphi = \omega/k$ ، مضروبًا في غلاف بطيء يتحرك بالسرعة $\delta\omega/\delta k$ . والرزمة الموجية — أي تراكب أمواج وحيدة اللون أعدادها الموجية في حزمة ضيّقة حول $k_0$ — تنتقل، ككلّ، بما يسمّى سرعة المجموعة

v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,

وهي سرعة طاقتها وسرعة المعلومة التي تحملها. وفي وسط غير متبدّد يكون $v_g = v_\varphi = c$ ؛ وفيما عدا ذلك تتشوّه الرزمة وهي تمضي (أي تتمدد)، وأسرع كلما كبر $\dd^2\omega/\dd k^2$ وضاق متمّم طيفها، أي عرضها المكاني.

برهان. تعطي صيغة تحويل المجموع إلى جداء الضربات. وأما الرزمة، فنكتب $s = \int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (وهو تراكب فورييه — ويُدرس تكامل فورييه في كتاب الرياضيات للسنة الثالثة؛ ولا يُستعمل هنا إلا تفسيره مجموعًا متصلًا من الجيوب)، مع $a(k)$ ذات ذروة عند $k_0$ . وننشر $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$ : فيكون $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$ ، أي حاملًا مضروبًا في غلاف هو دالة في $x - v_gt$ وحده — ومنه يتحرك الغلاف بالسرعة $v_g$ . وأما الحدّ التالي، $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$ ، فيزيح أطوار المركّبات مع الزمن ويمدّد الغلاف. وتقع طاقة الرزمة حيث يقع غلافها؛ وكذلك أي إشارة. ∎

الضربات: تنتج من تواترين متجاورين حامل سريع (يتحرك بسرعة الطور) تحت غلاف بطيء (يتحرك بسرعة المجموعة)؛ وفي وسط متبدّد تختلف السرعتان وتنزلق الذرى عبر الغلاف.

مثال 8.6 (الماء العميق: الذرى تسبق المجموعة)

$\omega = \sqrt{gk}$ : ومنه $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$ . فمجموعة من الموج الطويل تمضي بنصف سرعة ذراها: وإذا رقبت رتلًا من الأمواج رأيت الذرى تظهر في مؤخرة المجموعة، وتقطعها، ثم تختفي في مقدمتها — وهي حلقة البركة بعينها. وعاصفة على بعد $3000\,\mathrm{km}$ ترسل موجها الطويل ذا الدور $15\,\mathrm{s}$ ( $\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$ ، و $v_g = gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) في ثلاثة أيام، وأمواجها ذات الدور $8\,\mathrm{s}$ ( $v_g = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) في خمسة أيام ونصف: ومن أزمنة وصول الأدوار المختلفة يحدّد علماء المحيطات موضع العاصفة.

أثر زورق آلي على بحيرة ساكنة: يبقى النقش المريَّش داخل إسفين زاويته ثابتة لأن طاقة كل موجة مائية تنتقل بنصف سرعة ذراها — أي التبدد مرئيًّا.

مثال 8.7 (كلاين–غوردون: أسرع من الضوء، ولا)

من أجل $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ : $v_\varphi = \omega/k$ و $v_g = c^2k/\omega$ ، ومنه $v_\varphi v_g = c^2$ : فتفوق سرعة الطور $c$ (وفي الأيونوسفير تمضي ذرى موجة عند $10\,\mathrm{MHz}$ أسرع من الضوء) لكن سرعة المجموعة، وهي التي تحمل الإشارة، تبقى دونها. ولا تنقل سرعة الطور طاقة ولا معلومة — فالذرى كبقعة حزمة منارة تكنس غيمة بعيدة.

ملاحظة 8.8 (التمدد)

رزمة عرضها المكاني $\Delta x$ تحوي أعدادًا موجية على مدى $\Delta k \sim 1/\Delta x$ (وهو تقابل فورييه، مسلَّم به)؛ وتختلف سرعات مجموعة مركّباتها بالمقدار $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$ ، ومنه تكون بعد الزمن $t$ قد تمددت بالمقدار $|\omega''|\Delta k\,t$ : فيتضاعف عرضها بعد $t_{\text{تمدد}} \sim \Delta x^2/|\omega''|$ . ورزمة من عشر أمواج ماء عميق طولها $100\,\mathrm{m}$ ( $\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$ ، و $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) تتضاعف في نحو ست ساعات؛ ونبضة ضوء مدتها $1\,\mathrm{ns}$ في ليف بصري تتمدد بعشرات البيكوثانية في الكيلومتر — وهو حدّ معدل البتّات في الوصلات الطويلة. وتتمدد الرزمة الموجية الكمومية في الفصل 30 للسبب نفسه.

8.3 الكابل المحوري

قضية 8.9 (معادلتا التلغراف؛ الخط عديم الضياع)

للكابل المحوري (أو أي خط ذي ناقلين)، في واحدة الطول، محارضة $\Lambda$ وسعة $\Gamma$ . ويحقق التوتر $v(x, t)$ بين الناقلين والتيار $i(x, t)$ في الداخلي منهما معادلتي التلغراف

\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad \frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,

ومنهما معادلة دالمبير من أجل $v$ و $i$ مع

c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad v = Z_c\,i \ \text{من أجل موجة نحو } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,

حيث $Z_c$ هي الممانعة المميزة للخط. ومن أجل كابل محوري نصفا قطريه $a < b$ ومملوء بعازل نفوذيته النسبية $\varepsilon_r$ ، يكون $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$ ، و $\Gamma = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$ ، ومنه $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (أي نحو $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، ثلثا سرعة الضوء) و $Z_c = \dfrac{60\,\Omega} {\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$ : أي $50\,\Omega$ أو $75\,\Omega$ في الكابلات المعتادة.

برهان. نمذج الشريحة $[x, x + \dd x]$ بمحارضة على التسلسل $\Lambda\dd x$ وسعة على التفرّع $\Gamma\dd x$ : فيكون هبوط التوتر على امتداد الشريحة $\Lambda\dd x\,\partial_ti$ ، والتيار الضائع في السعة $\Gamma\dd x \,\partial_tv$ . ثم نشتقّ تقاطعيًّا. ومن أجل $v = f(x - ct)$ ، تعطي المعادلة الأولى $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$ . وأما قيمتا $\Lambda$ و $\Gamma$ فهما قيمتا المكثف الأسطواني والمحرِّض المحوري المحسوبتان في كتاب السنة الأولى. ∎

على اليسار: الدارة المكافئة لشريحة x من خط عديم الضياع — محارضة على التسلسل وسعة على التفرّع — ومنها تنتج معادلتا التلغراف. وعلى اليمين: كابل محوري في مقطعه؛ ولا يتوقف و فيه إلا على نسبة نصفي القطرين وعلى العازل. — على اليسار: الدارة المكافئة لشريحة $\dd x$ من خط عديم الضياع — محارضة على التسلسل وسعة على التفرّع — ومنها تنتج معادلتا التلغراف. وعلى اليمين: كابل محوري في مقطعه؛ ولا يتوقف $\Lambda$ و $\Gamma$ فيه إلا على نسبة نصفي القطرين وعلى العازل.

كابل محوري: لبّ داخلي، وعازل، وناقل خارجي مضفور — أي خط نقل تحدّد محارضته وسعته في المتر سرعتَه وممانعتَه المميزة.

قضية 8.10 (الخط ذو الضياع؛ شرط انعدام التشويه)

ومع مقاومة على التسلسل $R$ وموصولية على التفرّع $G$ في واحدة الطول، تصير المعادلتان $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ و $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv - Gv$ ، وعلاقة التبدد $\underline k^2 = (\Lambda\omega - \iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$ : فالخط متبدّد وواهن. وله نهايتان: (1) $R/\Lambda = G/\Gamma$ (وهو شرط هيفيسايد، ويُبلَغ بإضافة محارضة): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$ ، فينتقل كل تواتر بالسرعة نفسها وبالوهن نفسه — فالخط يوهن ولا يشوّه. (2) $\Lambda \approx 0$ و $G \approx 0$ (وهي حال أولى الكابلات البحرية): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ ، أي معادلة انتشار — فلا تنتشر النبضة بل تنلطخ، وتبلغ المسافة $L$ بعد زمن $\sim R\Gamma L^2$ (وهو قانون كلفن في المربعات)، أي أطول بمئة مرة في كابل أطول بعشر مرات.

برهان. ندخل $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$ ، و $-\iu ki = -(\iu \omega\Gamma + G)v$ ؛ ثم نضرب. وتحت شرط هيفيسايد يكون الجداء مربعًا تامًّا. ونهاية الانتشار تسقط الحدّين $\iu\omega\Lambda$ و $G$ . ∎

مثال 8.11 (ثلاثة كابلات)

كابل الأطلسي سنة 1858: سلك نحاسي واحد في الغوتابركا، و $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ ، و $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ ، و $L = 3000\,\mathrm{km}$ : ومنه $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ و $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ لكل نقطة: أي كلمة في الدقيقة، وأتلفت محاولات المشغّلين فرضَ الإشارة بتوتر $2\,\mathrm{kV}$ العازلَ في أسابيع. وخط هاتفي محمَّل بوشائع كل $2\,\mathrm{km}$ تحقيقًا لشرط هيفيسايد (سنة 1900): كلام واضح على مئات الكيلومترات. وكابل محوري حديث عند $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ، و $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ ، ووهن، سببه الأثر القشري في الناقلين (الفصل 14)، ينمو مثل $\sqrt f$ : أي بضعة ديسيبلات في المئة متر عند $100\,\mathrm{MHz}$ .

طريقة 8.12 (قراءة علاقة تبدد)

(1) اكتب معادلة أمواج الوسط بالترميز العقدي وحُلّها بالنسبة إلى $\underline k(\omega)$ . (2) وإذا كان $k$ حقيقيًّا: احسب $v_\varphi = \omega/k$ و $v_g = \dd\omega/\dd k$ (أو $1/(\dd k/\dd\omega)$ )؛ وقارن: أمتبدّد أم لا، وأتبدّده عادي ( $v_g < v_\varphi$ ) أم شاذّ. (3) وإذا كان $k$ عقديًّا: افصل الانتشار ( $k'$ ) عن الوهن ( $k''$ ، وطوله $1/k''$ )؛ والتخيلي الصرف يعني موجة متلاشية، ولا نقل. (4) ويفصل تواتر القطع حزمةً منتشرة عن حزمة متلاشية. (5) ومن أجل إشارة، عوّل على الغلاف عند $v_g$ ، لا على الذرى أبدًا.

8.4 تمارين

تمرين 8.1 ★

أمواج الماء العميق، $\omega^2 = gk$ . (أ) أوجد سرعة الطور وسرعة المجموعة و دور موج طويل طوله $100\,\mathrm{m}$ . (ب) وموج طويل دوره $14\,\mathrm{s}$ : أوجد طول الموجة و $v_\varphi$ و $v_g$ ؛ والزمن الذي تستغرقه طاقته في قطع $5000\,\mathrm{km}$ . (ج) ولماذا لا يصل إليها الموج القصير ذو الدور $2\,\mathrm{s}$ أصلًا؟

حل

حل التمرين 8.1.

(أ) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ، و $T = 8.0\,\mathrm{s}$ ؛ و $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ب) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ، و $k = \omega^2 /g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $\lambda = 310\,\mathrm{m}$ ؛ و $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v_g = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ يوم. (ج) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$ ، و $v_g = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : فيلزمها خمسة أسابيع، والأمواج القصيرة تخمدها اللزوجة وتكسرها الريح قبل ذلك بكثير.

تمرين 8.2 ★

وسط يحقق $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ مع $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ و $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ومن أجل $f = 20\,\mathrm{MHz}$ : أوجد $k$ و $v_\varphi$ و $v_g$ و جداءهما. ومن أجل $f = 5\,\mathrm{MHz}$ : أوجد $\kappa$ وعمق النفوذ.

حل

حل التمرين 8.2.

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ، و $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : ومنه $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c = 0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وجداؤهما $c^2$ . وعند $5\,\mathrm{MHz}$ يكون $\omega < \omega_c$ : ومنه $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c = 0.18\,\mathrm{m}^{-1}$ ، والعمق $5.5\,\mathrm{m}$ .

تمرين 8.3 ★

شوكتان رنّانتان عند $440\,\mathrm{Hz}$ و $444\,\mathrm{Hz}$ : أوجد تواتر الضربات، و دور تغيّرات العلوّ. وموجتان مائيتان طولاهما $100\,\mathrm{m}$ و $110\,\mathrm{m}$ : أوجد تواتريهما، وطول موجة الغلاف وسرعته؛ وقارنها بالسرعة $v_g$ عند $105\,\mathrm{m}$ .

حل

حل التمرين 8.3.

الضربات عند $4\,\mathrm{Hz}$ ، ودور تغيّر العلوّ $0.25\,\mathrm{s}$ . وأما الماء فتواتراه $f = 0.125$ و $0.119\,\mathrm{Hz}$ ؛ والغلاف $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ مع $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (أي ضربات تتباعد $1.1\,\mathrm{km}$ ) وسرعة $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — وهي سرعة المجموعة عند $105\,\mathrm{m}$ ، $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

تمرين 8.4 ★

كابل محوري: قطر ناقله الداخلي $0.9\,\mathrm{mm}$ ، والخارجي $3.0\,\mathrm{mm}$ ، والبولي إيثيلين ( $\varepsilon_r = 2.3$ ). أوجد $\Lambda$ و $\Gamma$ وسرعة الموجة، والممانعة المميزة، والتأخّر في المتر؛ وطول الكابل المكافئ لتأخّر $10\,\mathrm{ns}$ . والكابل نفسه بالهواء بدل البولي إيثيلين.

حل

حل التمرين 8.4.

$\ln(b/a) = 1.20$ : ومنه $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ ، و $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ ، و $c = 1/ \sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $Z_c = 48\,\Omega$ ، و $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$ ؛ و $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$ . وبالهواء: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ ، و $c = c_0$ ، و $Z_c = 72\,\Omega$ .

تمرين 8.5 ★★

الوتر الصلب. يحقق وتر بيانو حقيقي $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - EI\,\partial_x^4y$ (و $EI$ صلابة الانثناء). (أ) أوجد علاقة التبدد، وسرعتي الطور والمجموعة. (ب) ومن أجل وتر لا $_4$ في الفصل 6 ( $T = 685\,\mathrm{N}$ ، و $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ، و $EI = 9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ )، أوجد الزيادة النسبية في $v_\varphi$ من أجل التوافقي الثامن ( $k = 8\pi/L$ ، و $L = 0.38\,\mathrm{m}$ )؛ وتحقق منها باللاتوافقية الواردة هناك. (ج) وهل التبدد عادي أم شاذّ؟ وكيف تبدو قطفة حادّة بعد بضع ذهابات وإيابات؟

حل

حل التمرين 8.5.

(أ) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$ ؛ و $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$ ؛ و $v_g = (c^2k + 2(EI/\mu)k^3)/\omega$ . (ب) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ ، و $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $(EI/\mu)k^2 = 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : ومنه $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$ ، أي $+3.1\%$ — وهي $53$ سنتًا في الفصل 6. (ج) $v_g > v_\varphi$ : أي شاذّ؛ فتسبق التوافقيات العالية وتصير مقدّمة القطفة زقزقةً هابطة قصيرة.

تمرين 8.6 ★★

الوتر المتخامد. $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ . (أ) استنتج علاقة التبدد. (ب) ومن أجل $\alpha \ll \mu\omega$ ، بيّن أن $k' \approx \omega/c$ و $k'' \approx \alpha/2Z$ ؛ وأوجد الوهن بالديسيبل في المتر. (ج) والقيم: $\mu = 5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ ، و $T = 50\,\mathrm{N}$ ، و $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $f = 100\,\mathrm{Hz}$ : تحقق من التقريب وأعطِ $\delta$ . (د) وهل الوتر المتخامد متبدّد؟ وفي أي نظام من $\alpha$ يصير كذلك؟

حل

حل التمرين 8.6.

(أ) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$ : ومنه $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$ . (ب) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$ : أي $k' = \omega/c$ ، و $k'' = \alpha/2\mu c = \alpha/2Z$ ؛ و $8.7k''$ ديسيبل في المتر. (ج) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ ، و $\mu\omega = 3.1 \gg 0.02$ : ومنه $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $\delta = 50\,\mathrm{m}$ ، و $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (د) لا في هذه النهاية ( $k' = \omega/c$ )؛ وحين $\alpha \gtrsim \mu\omega$ لا يعود الجذر التربيعي يتخطّى ويتوقف $k'$ على $\omega$ توقفًا غير خطي: فيصير متبدّدًا (وهي نهاية الكابل الانتشارية).

تمرين 8.7 ★★

التموّجات. تحكم أمواجَ الماء القصيرة قوةُ التوتر السطحي: $\omega^2 = \gamma k^3/\rho$ (و $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ )؛ والعلاقة الكاملة $\omega^2 = gk + \gamma k^3/\rho$ . (أ) أوجد $v_\varphi$ و $v_g$ للأمواج الشعرية الصرفة؛ وأيهما أكبر؟ (ب) بيّن أن سرعة الطور في العلاقة الكاملة أصغرية عند $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ واحسب $\lambda_m$ و $v_{\min}$ . (ج) وزورق أبطأ من $v_{\min}$ لا يترك أثرًا: فلماذا؟ (د) وقطرات المطر على بركة تصنع حلقات تتخلف ذراها عن الحلقة: ففي أي نظام؟

حل

حل التمرين 8.7.

(أ) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$ ، و $v_g = \tfrac32v_\varphi$ : فتسبق المجموعة الذرى. (ب) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ أصغري عند $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$ : ومنه $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$ ، و $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} = 23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (ج) والأثر نقش ساكن بالنسبة إلى الزورق، مؤلَّف من أمواج تساوي سرعة طورها سرعته؛ ولا واحدة منها أبطأ من $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (د) والنظام الشعري، $v_g > v_\varphi$ : فتولد الذرى في مقدمة الحلقة وتموت في مؤخرتها.

تمرين 8.8 ★★

التمدد. رزمة عرضها الابتدائي $\Delta x_0$ يتضاعف عرضها بعد $t_{\text{تمدد}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$ . (أ) مجموعة من أمواج الماء العميق، $\lambda = 50\,\mathrm{m}$ ، و $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$ . (ب) ونبضة ضوء في ليف زجاجي: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ ونبضة مدتها $10\,\mathrm{ps}$ ( $\Delta x_0 = 2\,\mathrm{mm}$ ): أوجد زمن التمدد والمسافة المقطوعة في أثنائه؛ والأمر نفسه من أجل نبضة $1\,\mathrm{ns}$ . ولماذا تستعمل الوصلات البصرية الطويلة نبضات أطول أو ليفًا يعوّض التبدد؟

حل

حل التمرين 8.8.

(أ) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ ، و $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : ومنه $t_{\text{تمدد}} = 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ، أي أربع ساعات. (ب) وعند $10\,\mathrm{ps}$ : $t_{\text{تمدد}} = 4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$ ، أي $5\,\mathrm{km}$ عند $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{ns}$ : $0.04/0.16 = 0.25\,\mathrm{s}$ ، أي $50\,000\,\mathrm{km}$ . فالنبضات القصيرة (ومعدلات البتّات العالية) تتمدد في كيلومترات: ومنه تستعمل الوصلات الطويلة ليفًا معوِّضًا أو معدلات معتدلة.

تمرين 8.9 ★★

الكابل البحري. $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$ ، و $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ ، و $\Lambda$ و $G$ مهمَلان. (أ) بيّن أن $v$ يحقق معادلة انتشار وأعطِ انتشاريته. (ب) علاقة التبدد $\underline k(\omega)$ ؛ وسرعة الطور وطول الوهن عند $1\,\mathrm{Hz}$ وعند $10\,\mathrm{Hz}$ . (ج) والزمن الذي «تصل» فيه إشارة على $3000\,\mathrm{km}$ ( $\sim R\Gamma L^2$ )؛ وعدد الكلمات في الدقيقة. (د) وعلاج هيفيسايد: أوجد المحارضة في الكيلومتر اللازمة من أجل $R/\Lambda = G/\Gamma$ إذا كان $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$ ؛ ولماذا كان يصعب إضافتها؟

حل

حل التمرين 8.9.

(أ) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ ، و $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (ب) $\underline k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ : ومنه $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ ؛ وعند $1\,\mathrm{Hz}$ : $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\delta = 600\,\mathrm{km}$ ؛ وعند $10\,\mathrm{Hz}$ : $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\delta = 190\,\mathrm{km}$ . (ج) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ لكل نقطة: أي نحو كلمة في الدقيقة. (د) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — وهي محارضة عبثية لكابل بحري؛ وقد نجحت وشائع التحميل في خطوط الهاتف البرية، فقيمتا $G$ و $R\Gamma$ فيها مختلفتان.

تمرين 8.10 ★★★

الطاقة تنتقل بسرعة المجموعة. وتر على مهاد مرن: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ ، وموجته $y = A\cos(\omega t - kx)$ مع $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ . (أ) كثافة الطاقة $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T (\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ وتدفقها $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$ : تحقق من $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . (ب) أوجد المتوسطين الزمنيين $\langle e\rangle$ و $\langle\mathcal P\rangle$ للموجة. (ج) بيّن أن $\langle\mathcal P\rangle/ \langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$ ، لا $v_\varphi$ . (د) وماذا يحدث لتدفق الطاقة دون تواتر القطع؟

حل

حل التمرين 8.10.

(أ) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x (Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$ . (ب) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) = \tfrac12\mu\omega^2A^2$ (باستعمال $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$ )؛ و $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega A^2$ . (ج) والنسبة $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$ . (د) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$ : ومنه $\mathcal P \propto \sin2\omega t$ ، ومتوسطه معدوم — فلا طاقة تعبر الوسط.

تمرين 8.11 ★★★

الموج الطويل والتسونامي. أمواج الماء ذات طول الموجة $\lambda$ على عمق $h$ تحقق $\omega^2 = gk\tanh kh$ (مسلَّم بها). (أ) استعد نهايتي الماء العميق و الماء الضحل ( $kh \ll 1$ )؛ وأوجد سرعة أمواج الماء الضحل؛ وهل هي متبدّدة؟ (ب) وتسونامي طول موجته $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ على $4\,\mathrm{km}$ من المحيط: أي نهاية، وما السرعة والدور؛ وزمن قطع $8000\,\mathrm{km}$ . (ج) وسعته في عرض البحر $0.5\,\mathrm{m}$ : أوجد الطاقة في واحدة طول الذروة (وسلّم بأن $E = \tfrac12\rho gA^2$ في واحدة المساحة) من أجل جبهة طولها $1000\,\mathrm{km}$ ؛ وماذا يحدث حين يهبط العمق إلى $10\,\mathrm{m}$ ، إذا انحفظ تدفق الطاقة $Ev_g$ (وهو قانون غرين، $A \propto h^{-1/4}$ )؟ (د) وموج طويل طوله $100\,\mathrm{m}$ يصل شاطئًا: عند أي عمق يبدأ بالإحساس بالقاع، ولماذا تصير ذراه موازية للشاطئ؟

حل

حل التمرين 8.11.

(أ) $\tanh kh \to 1$ : ومنه $\omega^2 = gk$ ؛ وعند $kh \ll 1$ : $\omega = \sqrt{gh}\,k$ ، والسرعة $\sqrt{gh}$ ، وغير متبدّدة. (ب) $kh = 0.13$ : أي ضحل؛ و $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $T = 17\,\mathrm{min}$ ؛ و $8000\,\mathrm{km}$ في $11\,\mathrm{h}$ . (ج) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ على $200 \times 1000$ km $^2$ : أي $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ . وبغرين: $A \propto h^{-1/4}$ ، و $(4000/10)^{1/4} = 4.5$ : أي $2.2\,\mathrm{m}$ ، قبل الانحدار والصعود على الشاطئ. (د) عند $h \approx \lambda/2 = 50\,\mathrm{m}$ ؛ ويتباطأ الجزء من الذروة الواقع في ماء أضحل، فتدور الذروة موازيةً لخطوط تساوي العمق — أي انكسار.

تمرين 8.12 ★★★

نبضة على خط. كابل عند $50\,\Omega$ طوله $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ( $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) يُغذَّى عند $x = 0$ من مولّد مقاومته الداخلية $50\,\Omega$ وينتهي عند $x = \ell$ بحمل $R_L$ . (أ) بيّن أن موجة تصل النهاية تنعكس بمعامل التوتر $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (اكتب $v$ و $i$ موجةً واردة مع منعكسة وافرض قانون أوم في الحمل). (ب) أوجد القيم من أجل $R_L = 50$ و $0$ و $\infty$ و $150\,\Omega$ . (ج) وتُرسل نبضة مدتها $1\,\mathrm{ns}$ وتوترها $1\,\mathrm{V}$ : فما الذي يبيّنه راسم الاهتزاز عند المولّد، ومتى، من أجل كل حمل؛ ولماذا تهمّ مقاومة المولّد $50\,\Omega$ . (د) ويعيد عيب في كابل مدفون صدى بعد $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$ : فأين هو؟ (وهو قياس الانعكاس في مجال الزمن.)

حل

حل التمرين 8.12.

(أ) عند $x = \ell$ : $v = v_i + v_r$ ، و $i = (v_i - v_r)/Z_c$ ، و $v = R_Li$ : ومنه $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ . (ب) $0$ و $-1$ و $+1$ و $0.5$ . (ج) ويبدو مدخل الخط مثل $Z_c$ ، فيرى الراسم $0.5\,\mathrm{V}$ عند $t = 0$ ، ثم الصدى $0.5r$ فولت عند $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : أي لا شيء، و $-0.5\,\mathrm{V}$ ، و $+0.5\,\mathrm{V}$ ، و $+0.25\,\mathrm{V}$ ؛ ويمتصّ المولّد المواءم الصدى، فلا يكون هناك صدى ثانٍ. (د) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$ .

8.5 مسألة: الكابل والبحر

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — التبدد في العمل: الكابل التلغرافي الذي لطّخ النقاط، والموج الطويل الذي يعلن عاصفة، والتسونامي الذي يعبر محيطًا، والرزمة التي تتمدد

الجزء I — الكابل التلغرافي. كابل الأطلسي سنة 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$ ، و $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ ، و $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ ، و $G$ مهمَل، وطوله $L = 3500\,\mathrm{km}$ .

اكتب معادلتي التلغراف مع $R$ واستنتج علاقة التبدد $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ .
وعند أي تواتر يساوي $\Lambda\omega$ المقدارَ $R$ ؟ استنتج أنه من أجل تواترات التلغراف (بضعة هرتزات) يكون الخط في النظام الانتشاري.
وفي ذلك النظام، $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : أعطِ $k'$ و $k''$ (وتذكّر أن $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ )؛ وسرعة الطور وطول الوهن عند $1\,\mathrm{Hz}$ ؛ ثم عند $4\,\mathrm{Hz}$ .
الوهن بالديسيبل على الكابل كله عند $1\,\mathrm{Hz}$ وعند $4\,\mathrm{Hz}$ . وأي تواتر ينجو؟ وماذا يفعل ذلك بنقطة حادّة؟
تقدير كلفن لزمن العبور، $R\Gamma L^2$ ؛ ومعدل الكابل العملي بالكلمات في الدقيقة إذا كانت الكلمة نحو $10$ نقاط وشرطات وكان على النقاط ألا تتراكب.
واقترح هيفيسايد رفع $\Lambda$ : فأي قيمة تجعل $\Lambda\omega = R$ عند $4\,\mathrm{Hz}$ ، وما السرعة والوهن عندئذ (خذ $G = 0$ ، ومنه لا يمكن تحقيق الشرط $R/\Lambda = G/\Gamma$ تمامًا — فاستعمل العلاقة العامة عند ذلك التواتر)؟
وليف بصري حديث يحمل $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : قارن ذلك بالسؤال 5، بقوى العشرة.

الجزء II — الموج الطويل. الماء العميق: $\omega^2 = gk$ .

سرعة الطور وسرعة المجموعة بدلالة الدور $T$ .
وعاصفة على بعد $4000\,\mathrm{km}$ من ساحل تولّد أمواجًا أدوارها من $6\,\mathrm{s}$ إلى $18\,\mathrm{s}$ : أوجد زمن وصول كل من الطرفين؛ ومدة حدث الموج الطويل.
بيّن أن الدور الواصل إلى ساحل على البعد $D$ يحقق $1/T = gt/4\pi D$ ، و $t$ محسوب من العاصفة: فينمو $1/T$ خطيًّا مع الزمن. وتسجّل عوّامة $T = 16\,\mathrm{s}$ في يوم عند الظهر و $T = 12\,\mathrm{s}$ بعد $24\,\mathrm{h}$ بالضبط: أوجد بعد العاصفة.
والطاقة في واحدة مساحة موج طويل سعته $A$ هي $\tfrac12\rho gA^2$ ؛ أوجد الاستطاعة العابرة لخط طوله $1\,\mathrm{m}$ من الذروة، من أجل $A = 1.5\,\mathrm{m}$ و $T = 12\,\mathrm{s}$ . (استعمل سرعة المجموعة — ولماذا؟)
ومزرعة طاقة موجية جبهتها $1\,\mathrm{km}$ بمردود $30\%$ : أوجد الاستطاعة الكهربائية؛ وقارنها بعنفة ريحية ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
وزورق بسرعة $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ على ماء عميق يترك خلفه أثرًا ساكنًا: فأي طول موجة سرعة طوره تساوي سرعة الزورق فيتبعه؟ ولماذا يجرّ النقش على شكل V أضيق مما يوحي به انتشار الذرى نفسها (فكّر في $v_g = v_\varphi/2$ )؟
وإذ ترقب مجموعة من الموج الطويل من جرف، صف ما تفعله ذروة بعينها أثناء مرور المجموعة بعوّامة ثابتة؛ وكم ذروةً تحوي مجموعة مدتها $2\,\mathrm{min}$ عند $T = 12\,\mathrm{s}$ ، وكم «عمرًا» لذروة يمثّل ذلك؟

الجزء III — التسونامي. $\omega^2 = gk\tanh kh$ ؛ وعمق الهادئ $h = 4.0\,\mathrm{km}$ .

يرفع زلزال رقعة من قاع البحر عرضها $100\,\mathrm{km}$ بمقدار $2\,\mathrm{m}$ ؛ وللموجة $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : تحقق من أنها موجة ماء ضحل وأعطِ سرعتها ودورها وزمن بلوغها ساحلًا على بعد $6000\,\mathrm{km}$ .
وهل هي متبدّدة؟ قارنها بالموج الطويل في الجزء الثاني: أتصل قبل الموج الطويل أم بعده؟ وأيهما يصل نبضةً واحدة؟
وارتفاعها في عرض البحر $0.6\,\mathrm{m}$ : أوجد الطاقة في المتر المربع؛ والطاقة الكلية لجبهة طولها $500\,\mathrm{km}$ موزَّعة على طول موجة واحد؛ وقارنها بانفجار $1\,\mathrm{Mt}$ (أي $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
قانون غرين: أوجد الارتفاع حين يهبط العمق إلى $20\,\mathrm{m}$ قرب الشاطئ (وتدفق الطاقة $\tfrac12\rho gA^2v_g$ محفوظ، و $v_g = \sqrt{gh}$ )؛ والسرعة وطول الموجة هناك؛ ولماذا تنحدر الموجة عندئذ وتنكسر كجدار.
ولا تلحظ سفينة في عرض البحر مرور التسونامي: فلماذا؟
وتسجّل مقاييس مدّ على بعد $6000\,\mathrm{km}$ الموجةَ: فماذا يعطي زمن الانتقال، ولماذا تكون السرعة المقيسة أقل قليلًا من $\sqrt{gh}$ فوق محيط متغير العمق؟

الجزء IV — الرزمة المتمددة.

من أجل الماء العميق، احسب $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ وقيمته من أجل $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
ورزمة من $10\,$ أمواج كهذه ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) تُطلَق: أوجد زمن التمدد $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ؛ والمسافة التي تقطعها الرزمة في أثنائه.
واشرح بالكلام لماذا تتمدد رزمة طيفها أضيق (أي رتلها أطول) أبطأ، ولماذا لا يكاد تسونامي الجزء الثالث يتمدد أصلًا.
والتقدير نفسه من أجل إلكترون طول موجته $0.1\,\mathrm{nm}$ محصور في $1\,\mathrm{nm}$ ، مع $\omega = \hbar k^2/2m$ (و $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ، و $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): أوجد زمن التمدد و المسافة المقطوعة — وهو أول تماسّ مع الرزمة الموجية الكمومية في الفصل 30.
لخّص في جدول: علاقة التبدد و $v_\varphi$ و $v_g$ من أجل الكابل والموج الطويل والتسونامي والإلكترون، وهل يمدّد الوسط أم يوهن فحسب.

حل

حل المسألة 8.1.

1. $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ ، و $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$ ؛ ومع $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$ ، و $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$ ، ومنه $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$ .

2. $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ، أي $640\,\mathrm{Hz}$ : فعند بضعة هرتزات يكون $\Lambda\omega \ll R$ ، أي النظام الانتشاري.

3. $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ مع $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ : فعند $1\,\mathrm{Hz}$ : $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\delta = 800\,\mathrm{km}$ ؛ وعند $4\,\mathrm{Hz}$ : $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $400\,\mathrm{km}$ .

4. $8.7L/\delta$ : أي $38\,\mathrm{dB}$ عند $1\,\mathrm{Hz}$ ، و $76\,\mathrm{dB}$ عند $4\,\mathrm{Hz}$ : فلا تنجو إلا أبطأ المركّبات؛ وتصل النقطة الحادّة حدبةً طويلة منخفضة.

5. $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$ : أي نقطة كل ست ثوانٍ، وكلمة في الدقيقة (وقد بلغ الكابل الحقيقي، بمقاييس غلفانية مرآوية حساسة، بضع كلمات).

6. $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ . وعندئذ $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$ ، و $k = \sqrt{\Gamma R\omega} \,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$ : ومنه $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ ، و $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : و $v_\varphi = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\delta = 620\,\mathrm{km}$ ، و $49\,\mathrm{dB}$ على الكابل بدل $76\,\mathrm{dB}$ .

7. نقطة كل $6\,\mathrm{s}$ هي نحو $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : فالليف أسرع $10^{10}$ إلى $10^{11}$ مرة.

8. $v_\varphi = gT/2\pi$ ، و $v_g = gT/4\pi$ .

9. عند $18\,\mathrm{s}$ : $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{d}$ ؛ وعند $6\,\mathrm{s}$ : $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي تسعة أيام وتسعة أعشار: فيدوم الموج الطويل أكثر من ستة أيام.

10. $t = D/v_g = 4\pi D/gT$ ، ومنه $1/T = gt/4\pi D$ . و $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16 = 0.0208\,\mathrm{Hz}$ في $86\,400\,\mathrm{s}$ : ومنه $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$ ، و $D = 3200\,\mathrm{km}$ .

11. $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ ؛ وتتحرك الطاقة بالسرعة $v_g = gT/4\pi = 9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أي $103\,\mathrm{kW}$ في المتر من الذروة.

12. $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$ : أي عشر عنفات ريحية.

13. $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$ . وتنتقل طاقة كل مركّبة موجية بنصف سرعة طورها، ومنه ينحصر النقش في إسفين خلف الزورق (نصف زاويته $19.5{}^{\circ}$ ، مهما تكن سرعته).

14. تولد الذروة في مؤخرة المجموعة، وتتجاوزها (فالذرى تمضي بالسرعة $2v_g$ بالنسبة إلى الماء، و $v_g$ بالنسبة إلى المجموعة) وتموت في مقدمتها. وطول المجموعة $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ ، أي خمسة أطوال موجة ( $\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$ )؛ وتمرّ عشر ذرى بالعوّامة، وقد عاشت كل واحدة نحو دقيقتين.

15. $kh = 0.13$ : أي ضحل. و $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$ ، و $8.4\,\mathrm{h}$ .

16. غير متبدّد: فكل المركّبات عند $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وتصل معًا نبضةً واحدة (وأما الموج الطويل، عند $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، مفروزًا بالدور، فيستغرق أسبوعًا).

17. $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ على $500 \times 200$ km $^2$ : أي $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ ، و $4\%$ من ميغاطن.

18. $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$ ؛ و $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\lambda = cT = 14\,\mathrm{km}$ . والذروة، وهي في ماء أعمق من القاع الذي أمامها، تمضي أسرع فتلحق به: فتنحدر الجبهة وتصير جدارًا.

19. ارتفاع $0.6\,\mathrm{m}$ على امتداد ربع ساعة، على ميل مقداره $10^{-5}$ : فلا شيء يُحسّ.

20. السرعة الوسطى، $\sqrt{gh}$ من أجل العمق الوسطي؛ ولأن $\sqrt h$ مقعّرة، تبطّئ المقاطع الضحلة الموجةَ أكثر مما تسرّعها العميقة، ويكون متوسط المسار دون $\sqrt{g\bar h}$ .

21. $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$ ، و $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$ ؛ ومن أجل $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ : $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

22. $t_{\text{تمدد}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ، أي $5.6\,\mathrm{h}$ ؛ وقد تحركت الرزمة $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$ .

23. الرتل الطويل يحوي حزمة ضيّقة من $k$ ، وسرعات مجموعتها متقاربة: فتبقى المركّبات معًا مدةً أطول. ووسط التسونامي غير متبدّد: فالسرعات متساوية، ولا تمدد.

24. $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : ومنه $t_{\text{تمدد}} = 10^{-18}/1.2 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ؛ و $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أي $60\,\mathrm{nm}$ .

25. الكابل: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ ، و $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$ ، ولا $v_g$ نظيفة، ويوهن ويلطّخ. والموج الطويل: $\omega^2 = gk$ ، و $v_\varphi = 2v_g$ ، ويتمدد. والتسونامي: $\omega = \sqrt{gh}\,k$ ، و $v_\varphi = v_g$ ، ولا هذا ولا ذاك. والإلكترون: $\omega = \hbar k^2/2m$ ، و $v_g = 2v_\varphi$ ، ويتمدد.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد