O que é Número de onda complexo: propagação e atenuação? — Física

Definição 8.3 Física universitária — 2.º ano · Capítulo 8 — Dispersão e pacotes de ondas

Quando a relação de dispersão dá, para $\omega$ real, um $\underline k = k' - \iu k''$ complexo, a onda é

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

ela se propaga a $v_\varphi = \omega/k'$ e sua amplitude decai como $\eu^{-x/\delta}$ com o comprimento de atenuação $\delta = 1/k''$ (ela deve decair no sentido de sua propagação: $k'$ e $k''$ de mesmo sinal). Se $\underline k$ é puramente imaginário, $\underline k = -\iu\kappa$ , a onda é evanescente: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , uma oscilação estacionária cuja amplitude morre ao longo da distância $1/\kappa$ sem propagar coisa alguma — o caso do meio de Klein–Gordon abaixo de seu corte, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , e de um metal em frequências ópticas.

Exemplos

Exemplo 8.4 (Uma corda amortecida)

Uma corda num fluido viscoso, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Para amortecimento fraco ( $\alpha \ll \mu \omega$ ), $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : a onda mantém sua celeridade e perde amplitude ao longo de $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , independentemente da frequência — uma perda dissipativa e não dispersiva, de $8.7\,\mathrm{dB}$ por comprimento $\delta$ .

Exemplo 8.11 (Três cabos)

O cabo transatlântico de 1858: um único fio de cobre em guta-percha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ e $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ por ponto: uma palavra por minuto, e as tentativas dos operadores de forçar o sinal com $2\,\mathrm{kV}$ destruíram o isolamento em poucas semanas. Uma linha telefônica carregada com bobinas a cada $2\,\mathrm{km}$ para satisfazer a condição de Heaviside (1900): fala nítida por centenas de quilômetros. Um cabo coaxial moderno de $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , e uma atenuação, devida ao efeito pelicular nos condutores (Capítulo 14), que cresce como $\sqrt f$ : alguns decibéis por cem metros a $100\,\mathrm{MHz}$ .

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Exemplos

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