Wat is Complex golfgetal: voortplanting en verzwakking? — Natuurkunde

Definitie 8.3 Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Hoofdstuk 8 — Dispersie en golfpakketten

Wanneer de dispersierelatie voor reële $\omega$ een complexe $\underline k = k' - \iu k''$ geeft, is de golf

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

zij plant zich voort met $v_\varphi = \omega/k'$ en haar amplitude neemt af als $\eu^{-x/\delta}$ met de verzwakkingslengte $\delta = 1/k''$ (zij moet afnemen in haar voortplantingsrichting: $k'$ en $k''$ hebben hetzelfde teken). Is $\underline k$ zuiver imaginair, $\underline k = -\iu\kappa$ , dan is de golf evanescent: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , een staande trilling waarvan de amplitude over de afstand $1/\kappa$ uitdooft zonder iets te vervoeren — het geval van het medium van Klein–Gordon onder zijn afsnijfrequentie, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , en van een metaal bij optische frequenties.

Voorbeelden

Voorbeeld 8.4 (Een gedempte snaar)

Een snaar in een viskeus fluïdum, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Bij zwakke demping ( $\alpha \ll \mu \omega$ ) is $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : de golf houdt haar snelheid en verliest amplitude over $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , onafhankelijk van de frequentie — een dissipatief, dispersieloos verlies van $8.7\,\mathrm{dB}$ per lengte $\delta$ .

Voorbeeld 8.11 (Drie kabels)

De transatlantische kabel van 1858: één koperdraad in guttapercha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ en $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ per punt: een woord per minuut, en de pogingen van de telegrafisten om het signaal met $2\,\mathrm{kV}$ door te drukken vernielden de isolatie binnen enkele weken. Een telefoonlijn die om de $2\,\mathrm{km}$ met spoelen was belast om aan de voorwaarde van Heaviside te voldoen (1900): heldere spraak over honderden kilometers. Een moderne coaxkabel van $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , en een verzwakking door het huideffect in de geleiders (Hoofdstuk 14) die als $\sqrt f$ groeit: enkele decibel per honderd meter bij $100\,\mathrm{MHz}$ .

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen